5. На рисунке ABCD - прямоугольник, DHIAC, сторона АВ в 2 раза меньше стороны ВС. Найдите DH, если АС = 10.

5. Дано: ABCD - прямоугольник, $$DH \perp AC$$, $$AB = \frac{1}{2}BC$$, $$AC = 10$$. Найти DH.

Решение:

Т.к. ABCD - прямоугольник, то $$AB = CD$$, $$BC = AD$$. По условию $$AB = \frac{1}{2}BC$$, следовательно, $$CD = \frac{1}{2}AD$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. Пусть $$CD = x$$, тогда $$AD = 2x$$. По теореме Пифагора:

$$AC^2 = AD^2 + CD^2$$

$$10^2 = (2x)^2 + x^2$$

$$100 = 4x^2 + x^2$$

$$5x^2 = 100$$

$$x^2 = 20$$

$$x = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$

Следовательно, $$CD = 2\sqrt{5}$$, $$AD = 4\sqrt{5}$$

Площадь треугольника ADC равна: $$S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5} = 2 \cdot 4 \cdot 5 = 20$$

С другой стороны, площадь треугольника ADC равна: $$S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DH$$.

Отсюда, $$\frac{1}{2} \cdot AC \cdot DH = 20$$

$$\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot DH = 20$$

$$5 \cdot DH = 20$$

$$DH = \frac{20}{5} = 4$$

Ответ: 4