На рисунке ∠ AKO = ∠ BKO, OK — биссектриса ∠ AOB, ∠ AOB = 82°, ∠ OBK = 115°. Найдите все углы треугольника АКО.

Решение:

В треугольнике AKO нам известны следующие данные:

• \( \angle AOB = 82^{\circ} \)
• \( \angle OBK = 115^{\circ} \)
• \( OK \) — биссектриса \( \angle AOB \)
• \( \angle AKO = \angle BKO \)

Из того, что \( OK \) — биссектриса \( \angle AOB \), следует, что она делит этот угол на два равных:

\[ \angle AOK = \angle BOK = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{82^{\circ}}{2} = 41^{\circ} \]

Теперь рассмотрим треугольник BKO. Сумма углов в любом треугольнике равна \( 180^{\circ} \). Поэтому:

\[ \angle OBK + \angle BKO + \angle BOK = 180^{\circ} \]

Подставим известные значения:

\[ 115^{\circ} + \angle BKO + 41^{\circ} = 180^{\circ} \]

Решим для \( \angle BKO \):

\[ \angle BKO = 180^{\circ} - 115^{\circ} - 41^{\circ} \]
\[ \angle BKO = 180^{\circ} - 156^{\circ} \]
\[ \angle BKO = 24^{\circ} \]

По условию, \( \angle AKO = \angle BKO \). Значит:

\[ \angle AKO = 24^{\circ} \]

Теперь рассмотрим треугольник AKO. Мы знаем \( \angle AOK \) и \( \angle AKO \). Мы можем найти \( \angle A \):

\[ \angle A + \angle AKO + \angle AOK = 180^{\circ} \]

Подставим известные значения:

\[ \angle A + 24^{\circ} + 41^{\circ} = 180^{\circ} \]

Решим для \( \angle A \):

\[ \angle A = 180^{\circ} - 24^{\circ} - 41^{\circ} \]
\[ \angle A = 180^{\circ} - 65^{\circ} \]
\[ \angle A = 115^{\circ} \]

Таким образом, углы треугольника AKO равны:

• \( \angle A = 115^{\circ} \)
• \( \angle O = \angle AOK = 41^{\circ} \)
• \( \angle K = \angle AKO = 24^{\circ} \)

Ответ: ∠ A = 115°, ∠ O = 41°, ∠ K = 24°.