1. На рисунке АВ || CD. а) Докажите, что АО • ОC = BO. OD. б) Найдите АВ, если ВС = 24 см, ОВ = 9 см, CD = 25 см.

Решение задания 1

а) Доказательство:

Рассмотрим треугольники АОВ и COD.

• Угол AOB = углу COD (как вертикальные)
• Угол ABO = углу DCO (как накрест лежащие при AB || CD и секущей BC)

Следовательно, треугольники AOB и COD подобны по двум углам (угол-угол).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

\[\frac{AO}{OD} = \frac{BO}{OC}\]

Перекрестно умножаем:

\[AO \cdot OC = BO \cdot OD\]

Что и требовалось доказать.

б) Найдем АВ:

Пусть ОC = x, тогда BC = BO + OC = 9 + x = 24 см.

Находим x:

\[x = 24 - 9 = 15 \text{ см}\]

Значит, ОC = 15 см.

Из подобия треугольников AOB и COD следует:

\[\frac{AB}{CD} = \frac{BO}{OC}\] \[\frac{AB}{25} = \frac{9}{15}\] \[AB = \frac{9 \cdot 25}{15} = \frac{9 \cdot 5}{3} = 3 \cdot 5 = 15 \text{ см}\]

Ответ: а) AO • OC = BO • OD доказано, б) AB = 15 см

Проверка за 10 секунд: Убедись, что доказательство подобия выполнено корректно и пропорции составлены верно.

Редфлаг: Всегда проверяй единицы измерения и правильность перекрестного умножения в пропорциях.

}, {