1. На рисунке АВ || CD. а) Докажите, что АО б) Найдите АВ, если = 9 см, CD = 25 см. ОС = BO OD. ВС = 24 см, ОВ =

Решение

1. а) Рассмотрим треугольники АОВ и COD.

Т.к. АВ || CD, то углы OAB и OCD являются накрест лежащими углами при секущей АС, а углы OBA и ODC - накрест лежащими углами при секущей BD. Следовательно, ∠OAB = ∠OCD и ∠OBA = ∠ODC.

Таким образом, треугольники АОВ и COD подобны по двум углам (по первому признаку подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

\[\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}\]

Что и требовалось доказать.

б) Из пропорции, доказанной в пункте а, следует:

\[\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}\]

Из условия задачи известно, что ВС = 24 см. Тогда ОС = ВС - ОВ = 24 - ОВ. Подставим это значение в пропорцию:

\[\frac{BO}{OD} = \frac{AO}{24 - ОB}\]

По условию, BO \cdot OD = 9 \cdot 25. Обозначим ОВ = х, тогда OD = \(\frac{9 \cdot 25}{x}\). Подставим в пропорцию:

\[\frac{x}{\frac{9 \cdot 25}{x}} = \frac{AO}{24 - x}\]

Отсюда

\[ AO = \frac{x(24 - x)}{\frac{9 \cdot 25}{x}} = \frac{x^2(24 - x)}{9 \cdot 25}\]

Т.к. треугольники АОВ и COD подобны, то верно следующее отношение:

\[ \frac{AB}{CD} = \frac{BO}{OD} \Rightarrow AB = CD \cdot \frac{BO}{OD}\]

Подставим известные значения CD, BO и OD:

\[AB = 25 \cdot \frac{x}{\frac{9 \cdot 25}{x}} = 25 \cdot \frac{x^2}{9 \cdot 25} = \frac{x^2}{9}\]

Кроме того, верно следующее отношение:

\[\frac{AO}{OC} = \frac{AB}{CD} \Rightarrow \frac{\frac{x^2(24 - x)}{9 \cdot 25}}{24 - x} = \frac{\frac{x^2}{9}}{25}\]

Так как знаменатели равны, то можем приравнять числители:

\[\frac{x^2(24 - x)}{9 \cdot 25} = \frac{x^2}{9}\] \[\frac{(24 - x)}{25} = 1\] \[24 - x = 25\] \[x = 9 \text{ см} \]

Тогда

\[AB = \frac{x^2}{9} = \frac{9^2}{9} = 9 \text{ см} \]

Ответ: AB = 9 см

У тебя отлично получается! Продолжай в том же духе, и ты сможешь решить любую задачу!