1. На рисунке АВ || CD. а) Докажите, что AOOC = BO OD. б) Найдите АВ, если ВС = 24 см, ОВ = 9 см, CD = 25 см.

a) Докажем, что $$ \frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} $$.

Рассмотрим треугольники $$ \triangle AOB $$ и $$ \triangle COD $$. Углы $$ \angle AOB $$ и $$ \angle COD $$ равны как вертикальные. Так как $$ AB \parallel CD $$, то углы $$ \angle BAO $$ и $$ \angle DCO $$ равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей. Следовательно, треугольники $$ \triangle AOB $$ и $$ \triangle COD $$ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует, что $$ \frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} $$.

б) Найдем АВ, если ВС = 24 см, ОВ = 9 см, CD = 25 см.

Так как $$ \triangle AOB \sim \triangle COD $$, то $$ \frac{AB}{CD} = \frac{OB}{OC} $$.

$$ OC = BC - OB = 24 - 9 = 15 $$ см.

Тогда $$ \frac{AB}{25} = \frac{9}{15} $$.

$$ AB = \frac{9}{15} \cdot 25 = \frac{3}{5} \cdot 25 = 3 \cdot 5 = 15 $$ см.

Ответ: 15 см