12. На рисунке АВ = 10, ВС = 8, DE = 12, угол АВС равен углу ADE. Найдите AD.

Обозначим угол \(\angle ABC = \angle ADE = \alpha\). Рассмотрим треугольники ABC и ADE.

\(\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB\)

\(\angle EAD = 180^\circ - \angle ADE - \angle AED\)

Поскольку \(\angle ABC = \angle ADE\), чтобы треугольники ABC и ADE были подобны, необходимо, чтобы \(\angle ACB = \angle AED\).

Если треугольники ABC и ADE подобны, то справедливы соотношения:

$$\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE}$$, откуда $$AD = \frac{AB \cdot DE}{BC}$$

Подставим значения:

$$AD = \frac{10 \cdot 12}{8} = \frac{120}{8} = 15$$

Ответ: AD = 15.