На рисунке ∠BAC = ∠KCA, ∠BNC = ∠KMA, BN = 25 дм, AM = CN, ∠ABN = 90°. Найдите высоту треугольника MHC, опущенную из вершины M.

Обозначим \(\angle BAC=\angle KCA=\alpha\). Так как точки A, M, N, C лежат на одной прямой, лучи NA и NC противоположны.

1. В прямоугольном треугольнике ABN: \(\angle BNA=90^\circ-\alpha\). Поэтому \(\angle BNC=180^\circ-(90^\circ-\alpha)=90^\circ+\alpha\).
2. По условию \(\angle KMA=\angle BNC=90^\circ+\alpha\). Лучи MA и MC противоположны, значит \(\angle KMC=90^\circ-\alpha\). Кроме того, \(\angle MCK=\angle KCA=\alpha\). Следовательно, \(\angle MKC=90^\circ\), то есть \(MK\perp KC\). Поскольку H лежит на KC, MK — высота треугольника MHC, опущенная из M.
3. Из \(AM=CN\) следует \(AN=AM+MN=MN+CN=MC\). Прямоугольные треугольники ABN и CKM равны: у них равны гипотенузы AN и CM и острые углы \(\angle BAN=\angle KCM=\alpha\). Поэтому \(KM=BN=25\) дм.

Ответ: 25 дм.