На рисунке BM — биссектриса угла ABN. а) Найдите ∠ABN, если градусные меры углов ABM и NBC относятся как 11:14. б) Постройте луч BK — продолжение луча BN, и назовите все образованные пары вертикальных углов. в) Найдите угол между биссектрисами углов CBK и NBC.

а) Так как BM — биссектриса угла ABN, то ∠ABM = ∠MBN. Обозначим каждую из этих величин через x, а ∠NBC — через y. Лучи BA и BC противоположны, поэтому x + x + y = 180°.

По условию x : y = 11 : 14, значит, x = 11k, y = 14k. Тогда 36k = 180°, откуда k = 5. Следовательно, ∠ABN = 2x = 2 · 55° = 110°.

б) Луч BK — продолжение BN. Схема построения:

Вертикальные пары углов: ∠ABN и ∠CBK; ∠NBC и ∠KBA.

в) Вертикальные углы ∠CBK и ∠ABN равны, поэтому ∠CBK = 110°. Из пункта а) ∠NBC = 70°. Биссектрисы этих углов образуют угол, равный половине суммы углов: 110° / 2 + 70° / 2 = 90°.

Ответ: а) 110°; б) ∠ABN и ∠CBK, ∠NBC и ∠KBA; в) 90°.