На рисунке BM — биссектриса угла ABN. a) Найдите ∠NBC, если ∠MBN = 65°. б) Постройте угол CBK, вертикальный с углом ABM, и найдите его градусную меру. в) Найдите градусную меру угла ABK.

Решение:

Дано: Угол ABN, BM — биссектриса угла ABN, \( \angle MBN = 65^{\circ} \).

а) Найдём \( \angle NBC \):

Так как BM — биссектриса угла ABN, то она делит угол пополам. Следовательно, \( \angle MBN = \angle ABN / 2 \).

Из этого следует, что \( \angle ABN = 2 \times \angle MBN \).

Подставляем значение \( \angle MBN \):

\( \angle ABN = 2 \times 65^{\circ} = 130^{\circ} \).

Угол NBC равен углу MBN, так как BM является биссектрисой:

\( \angle NBC = \angle MBN = 65^{\circ} \).

б) Построим угол CBK, вертикальный с углом ABM, и найдём его градусную меру:

Угол ABM смежный с углом MBN. Сумма смежных углов равна 180°.

\( \angle ABM + \angle MBN = 180^{\circ} \)

\( \angle ABM = 180^{\circ} - \angle MBN \)

\( \angle ABM = 180^{\circ} - 65^{\circ} = 115^{\circ} \).

Угол CBK вертикален с углом ABM. Вертикальные углы равны.

\( \angle CBK = \angle ABM = 115^{\circ} \).

в) Найдём градусную меру угла ABK:

Угол ABK состоит из двух смежных углов: ABM и MBN.

\( \angle ABK = \angle ABM + \angle MBN \)

\( \angle ABK = 115^{\circ} + 65^{\circ} = 180^{\circ} \).

Это также следует из того, что AC — прямая линия, и угол ABC развёрнутый (180°). Угол ABK является частью развёрнутого угла ABC.

Ответ: а) \( \angle NBC = 65^{\circ} \). б) \( \angle CBK = 115^{\circ} \). в) \( \angle ABK = 180^{\circ} \).