На рисунке BN — биссектриса угла MBC. а) Найдите ∠NBC, если он на 15° меньше угла ABM. б) Постройте угол ABK, вертикальный с углом MBC, и найдите его градусную меру. в) Найдите градусную меру угла NBK.

Обозначим ∠NBC за x. Так как BN — биссектриса ∠MBC, то ∠MBN = ∠NBC = x, поэтому ∠MBC = 2x.

Точки A, B, C лежат на одной прямой, значит смежные углы ∠ABM и ∠MBC в сумме дают 180°. По условию ∠NBC на 15° меньше ∠ABM, поэтому ∠ABM = x + 15°.

Получаем уравнение: 2x + (x + 15°) = 180°, откуда 3x = 165°, x = 55°.

а) ∠NBC = 55°.

б) Угол ABK вертикален углу MBC, поэтому они равны. ∠MBC = 2 · 55° = 110°, следовательно, ∠ABK = 110°. Луч BK строят противоположным лучу BM.

в) ∠NBK = ∠NBM + ∠MBK. Здесь ∠NBM = 55°, а ∠MBK = 180° − ∠ABM = 180° − 70° = 110°. Следовательно, ∠NBK = 55° + 110° = 165°.

Ответ: а) 55°; б) 110°; в) 165°.