На рисунке через вершину М треугольника МТК проведена прямая АВ, параллельная прямой ТК. Запишите в порядке убывания градусные меры трёх углов треугольника МТК, если градусные меры углов ВМТ и АМК соответственно равны 149° и 118°.

Решение:

Дано: Прямая АВ || ТК.

\( \angle BMT = 149^{\circ} \), \( \angle AMK = 118^{\circ} \).

Найти: Углы \( \triangle MTK \) в порядке убывания.

1. Углы \( \angle BMT \) и \( \angle AMK \) являются развёрнутыми, если точки А, М, В лежат на одной прямой. Однако, по условию, АВ - прямая, но не сказано, что она развернута.
2. \( \angle AMK \) и \( \angle BMT \) — смежные углы, если А, М, В лежат на одной прямой. Их сумма должна быть 180°. По условию, \( \angle BMT = 149^{\circ} \) и \( \angle AMK = 118^{\circ} \), что невозможно для смежных углов.
3. Предположим, что \( \angle BMT \) и \( \angle AMK \) — это внешние углы.
4. Так как \( AB \parallel TK \), то \( \angle BMT \) и \( \angle MTK \) — накрест лежащие углы при секущей МТ. Следовательно, \( \angle MTK = \angle BMT = 149^{\circ} \).
5. \( \angle AMK \) и \( \angle MKT \) — накрест лежащие углы при секущей МК. Следовательно, \( \angle MKT = \angle AMK = 118^{\circ} \).
6. Сумма углов \( \angle MTK + \angle MKT = 149^{\circ} + 118^{\circ} = 267^{\circ} \).
7. Сумма углов треугольника не может быть больше 180°. Следовательно, в условии задачи, вероятно, допущена ошибка.
8. Если предположить, что \( \angle KMT = 149^{\circ} \) и \( \angle AMT = 118^{\circ} \), то \( \angle KMT + \angle AMT = 149^{\circ} + 118^{\circ} = 267^{\circ} \), что также невозможно, так как эти углы составляют развёрнутый угол.
9. Если принять \( \angle BMT = 149^{\circ} \) как внешний угол при вершине М, то внутренний угол \( \angle AMT = 180^{\circ} - 149^{\circ} = 31^{\circ} \).
10. Если принять \( \angle AMK = 118^{\circ} \) как внешний угол при вершине М, то внутренний угол \( \angle KMT = 180^{\circ} - 118^{\circ} = 62^{\circ} \).
11. Однако, \( \angle AMT + \angle KMT \) не составляют полный угол, что противоречит рисунку.
12. Возможно, \( \angle TMB = 149^{\circ} \) и \( \angle KMA = 118^{\circ} \) - это градусные меры углов, смежных с углами треугольника при вершине М.
13. Тогда \( \angle T M K \) = \( 180^{\circ} - 149^{\circ} = 31^{\circ} \) (как смежный с \( \angle TMB \)).
14. И \( \angle K M T \) = \( 180^{\circ} - 118^{\circ} = 62^{\circ} \) (как смежный с \( \angle KMA \)).
15. Эти два угла равны, что противоречит условию.
16. Предположим, что \( \angle BMT = 149^{\circ} \) и \( \angle AMK = 118^{\circ} \) — это градусные меры углов, которые образуются при пересечении прямой АВ с прямыми МТ и МК.
17. Так как \( AB \parallel TK \), то \( \angle BMT \) и \( \angle MTK \) — односторонние углы. Их сумма должна быть \( 180^{\circ} \). Но \( \angle BMT = 149^{\circ} \), значит \( \angle MTK = 180^{\circ} - 149^{\circ} = 31^{\circ} \).
18. \( \angle AMK \) и \( \angle MKT \) — односторонние углы. \( \angle AMK = 118^{\circ} \), значит \( \angle MKT = 180^{\circ} - 118^{\circ} = 62^{\circ} \).
19. Тогда \( \angle MKT = 62^{\circ} \) и \( \angle MTK = 31^{\circ} \).
20. \( \angle KMT = 180^{\circ} - (31^{\circ} + 62^{\circ}) = 180^{\circ} - 93^{\circ} = 87^{\circ} \).
21. Углы треугольника МТК: \( 87^{\circ}, 62^{\circ}, 31^{\circ} \).
22. В порядке убывания: \( 87^{\circ}, 62^{\circ}, 31^{\circ} \).

Ответ: 87°, 62°, 31°.