На рисунке дан график зависимости числа нераспавшихся ядер радиоактивного изотопа от времени. По графику определите:

Решение:

На графике представлено уменьшение числа нераспавшихся ядер радиоактивного изотопа со временем. Ось абсцисс (t) показывает время в минутах, а ось ординат (N, 10⁴) — число ядер в единицах 10⁴.

1. Время, за которое распалось 70% ядер:

Если распалось 70% ядер, то осталось \( 100 \% - 70 \% = 30 \% \) нераспавшихся ядер. Изначально на графике видно, что при \( t=0 \), \( N=1000 \) (тысяч ядер). Следовательно, 30% от 1000 — это \( 0.30 \times 1000 = 300 \) тысяч ядер. На графике находим значение \( N=300 \) (тысяч ядер). Проведя перпендикуляр к графику и затем к оси времени, видим, что \( t \approx 55 \) мин.

2. Первоначальное количество ядер:

При \( t=0 \) (начало отсчета времени) по графику видно, что \( N=1000 \) (тысяч ядер).

3. Период полураспада:

Период полураспада — это время, за которое число нераспавшихся ядер уменьшается в 2 раза. Изначально \( N_0 = 1000 \) тысяч ядер. Половина от этого количества — \( 1000 / 2 = 500 \) тысяч ядер. На графике находим \( N=500 \) (тысяч ядер). Проведя перпендикуляр к графику и затем к оси времени, видим, что период полураспада \( T_{1/2} \approx 30 \) мин.

4. Количество нераспавшихся ядер за время, равное 2,5 периода полураспада:

Если период полураспада \( T_{1/2} = 30 \) мин, то \( 2.5 \) периода — это \( 2.5 \times 30 = 75 \) мин. В соответствии с законом радиоактивного распада, количество нераспавшихся ядер через \( n \) периодов полураспада определяется формулой \( N = N_0 \times (1/2)^n \). В данном случае \( n = 2.5 \).

\( N = 1000 \times (1/2)^{2.5} \) тысяч ядер.

\( (1/2)^{2.5} = (1/2)^{5/2} = 1 / \sqrt{2^5} = 1 / \sqrt{32} = 1 / (4\sqrt{2}) \approx 1 / (4 \times 1.414) \approx 1 / 5.656 \approx 0.1768 \).

\( N \approx 1000 \times 0.1768 = 176.8 \) тысяч ядер.

5. Количество распавшихся ядер за 45 мин:

45 минут — это \( 45 / 30 = 1.5 \) периода полураспада. Количество нераспавшихся ядер через 1.5 периода:

\( N = 1000 \times (1/2)^{1.5} \) тысяч ядер.

\( (1/2)^{1.5} = (1/2)^{3/2} = 1 / \sqrt{2^3} = 1 / \sqrt{8} = 1 / (2\sqrt{2}) \approx 1 / (2 \times 1.414) \approx 1 / 2.828 \approx 0.3536 \).

\( N \approx 1000 \times 0.3536 = 353.6 \) тысяч ядер.

Количество распавшихся ядер равно первоначальному количеству минус количество нераспавшихся ядер:

\( N_{распалось} = N_0 - N \approx 1000 - 353.6 = 646.4 \) тысяч ядер.

Ответ:

• Время, за которое распалось 70% ядер: ~55 мин
• Первоначальное количество ядер: 1000 тысяч ядер
• Период полураспада: ~30 мин
• Количество нераспавшихся ядер за время равное 2,5 периода полураспада: ~177 тысяч ядер
• Количество распавшихся ядер за 45 мин: ~646 тысяч ядер