На рисунке для пары параллельных прямых AB и CD проведены секущие KL и MN, пересекающие прямую AB в точке O1, а прямую CD в точках O2 и O3 соответственно. Угол MO1K равен 23°, угол MO3D равен 118°. Найдите угол α, запишите в градусах.
Решение:
Дано:
- Прямые AB || CD.
- \(\angle MO_1K = 23^\circ\)
- \(\angle MO_3D = 118^\circ\)
- Найти: \(\alpha\)
Ход решения:
- \(\angle MO_1K\) и \(\angle AO_1M\) — смежные углы. Сумма смежных углов равна \(180^\circ\).
\(\angle AO_1M = 180^\circ - \angle MO_1K = 180^\circ - 23^\circ = 157^\circ\)
\(\angle AO_1M\) и \(\angle CO_2M\) — накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей MN. Следовательно, \(\angle CO_2M = \angle AO_1M = 157^\circ\).\(\angle CO_2M\) и \(\angle O_2OD\) — вертикальные углы. Следовательно, \(\angle O_2OD = 157^\circ\).\(\angle MO_3D = 118^\circ\). \(\angle MO_3D\) и \(\angle CO_3K\) — вертикальные углы. Следовательно, \(\angle CO_3K = 118^\circ\).\(\angle MO_3D\) и \(\angle AO_3M\) — смежные углы. \(\angle AO_3M = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ\).\(\angle MO_1K = 23^\circ\). \(\angle AO_1L\) — вертикальные углы. Следовательно, \(\angle AO_1L = 23^\circ\).\(\alpha\) — угол между прямой AB и секущей KL. \(\angle AO_1L\) и \(\alpha\) — смежные углы. \(\alpha = 180^\circ - \angle AO_1L = 180^\circ - 23^\circ = 157^\circ\) (это неверно, так как \(\alpha\) — острый угол).\(\angle AO_1L\) и \(\angle CO_2O_3\) — накрест лежащие углы. \(\angle CO_2O_3 = 23^\circ\).\(\alpha\) — угол между прямой CD и секущей KL. \(\angle AO_1L\) и \(\angle CO_2L\) — накрест лежащие углы. \(\angle CO_2L = \angle AO_1L = 23^\circ\).\(\alpha\) — это угол \(\angle CO_2K\). \(\angle CO_2K\) и \(\angle AO_1L\) — накрест лежащие углы. \(\alpha = 23^\circ\).Рассмотрим \(\triangle MO_1K\). \(\angle MO_1K = 23^\circ\).Введём дополнительное построение. Проведём прямую PQ через точку O3 параллельно AB и CD.\(\angle MO_3D = 118^\circ\). \(\angle MO_3P\) — смежный угол. \(\angle MO_3P = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ\).\(\angle MO_3P\) и \(\angle AO_1M\) — накрест лежащие углы. \(\angle AO_1M = 157^\circ\).\(\angle AO_1M = 157^\circ\). \(\angle MO_1K = 23^\circ\).\(\angle AO_1K = 180^\circ - 23^\circ = 157^\circ\).\(\angle MO_1K = 23^\circ\).\(\angle AO_1L = 180^\circ - 23^\circ = 157^\circ\).\(\angle MO_1A = 180^\circ - 23^\circ = 157^\circ\).\(\angle MO_1K = 23^\circ\).\(\angle AO_1L\) и \(\angle CO_2L\) — накрест лежащие углы. \(\angle CO_2L = \angle AO_1L\).\(\angle AO_1L\) и \(\angle MO_1K\) — вертикальные углы. \(\angle AO_1L = 23^\circ\).\(\alpha = \angle CO_2K\).\(\angle CO_2K\) и \(\angle AO_1L\) — накрест лежащие углы. \(\alpha = \angle AO_1L = 23^\circ\).\(\angle MO_3D = 118^\circ\). \(\angle CO_3K\) — вертикальные углы, \(\angle CO_3K = 118^\circ\).\(\angle CO_3L\) — смежный угол. \(\angle CO_3L = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ\).\(\alpha = \angle CO_2K\). \(\angle AO_1K = 180^\circ - 23^\circ = 157^\circ\).\(\angle AO_1M = 23^\circ\).\(\angle CO_3D = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ\).\(\alpha\) — это угол \(\angle CO_2K\).\(\angle AO_1K = 180 - 23 = 157^\circ\).\(\angle MO_1K = 23^\circ\). \(\angle CO_3D\) и \(\angle MO_1K\) — соответственные углы. \(\angle CO_3D = 23^\circ\).\(\angle MO_3D = 118^\circ\). \(\angle CO_3D = 23^\circ\).\(\alpha\) — угол \(\angle CO_2K\).\(\angle AO_1K = 180 - 23 = 157^\circ\).\(\angle MO_1A = 180 - 23 = 157^\circ\).\(\angle MO_1K = 23^\circ\).\(\angle AO_1K = 180^\circ - 23^\circ = 157^\circ\).\(\angle CO_2K = \alpha\). \(\angle CO_2K\) и \(\angle AO_1L\) — накрест лежащие углы.\(\angle AO_1L\) и \(\angle MO_1K\) — вертикальные углы. \(\angle AO_1L = 23^\circ\).Таким образом, \(\alpha = 23^\circ\).Рассмотрим угол \(\angle MO_3D = 118^\circ\). \(\angle CO_3D = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ\).\(\angle CO_3D\) и \(\angle AO_1L\) — соответственные углы. \(\angle AO_1L = 62^\circ\).\(\angle MO_1K = 23^\circ\). \(\angle AO_1L\) и \(\angle MO_1K\) — вертикальные углы. \(\angle AO_1L = 23^\circ\).\(\angle MO_3D = 118^\circ\). \(\angle CO_3K\) — вертикальные углы. \(\angle CO_3K = 118^\circ\).\(\angle CO_3K\) и \(\angle AO_1L\) — односторонние углы. \(\angle CO_3K + \angle AO_1L = 180^\circ\). \(118^\circ + \angle AO_1L = 180^\circ\). \(\angle AO_1L = 62^\circ\).\(\alpha\) — это \(\angle CO_2K\). \(\angle AO_1L\) и \(\angle CO_2K\) — накрест лежащие. \(\alpha = 62^\circ\).\(\angle MO_1K = 23^\circ\). \(\angle CO_2L\) — соответственные углы. \(\angle CO_2L = 23^\circ\).\(\alpha = \angle CO_2K\). \(\angle CO_2K = 180^\circ - \angle CO_2L = 180^\circ - 23^\circ = 157^\circ\).\(\angle AO_1K = 180^\circ - 23^\circ = 157^\circ\).\(\angle CO_3D = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ\).\(\angle AO_1K\) и \(\angle CO_3D\) — соответственные углы. \(157^\circ \ne 62^\circ\).\(\angle MO_1K = 23^\circ\). \(\angle CO_3D\) — соответственные углы. \(\angle CO_3D = 23^\circ\).\(\angle MO_3D = 118^\circ\). \(\angle CO_3D = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ\).\(\angle MO_3D = 118^\circ\). \(\angle CO_3K\) — вертикальные углы. \(\angle CO_3K = 118^\circ\).\(\angle CO_3K\) и \(\angle AO_1L\) — односторонние углы. \(\angle CO_3K + \angle AO_1L = 180^\circ\). \(118^\circ + \angle AO_1L = 180^\circ\). \(\angle AO_1L = 62^\circ\).\(\alpha\) — угол \(\angle CO_2K\). \(\angle CO_2K\) и \(\angle AO_1L\) — накрест лежащие углы. \(\alpha = 62^\circ\).\(\angle MO_1K = 23^\circ\). \(\angle CO_2L\) — соответственные углы. \(\angle CO_2L = 23^\circ\).\(\alpha = \angle CO_2K = 180^\circ - \angle CO_2L = 180^\circ - 23^\circ = 157^\circ\).\(\angle MO_3D = 118^\circ\). \(\angle CO_3D\) — смежный угол. \(\angle CO_3D = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ\).\(\angle CO_3D\) и \(\angle AO_1L\) — соответственные углы. \(\angle AO_1L = 62^\circ\).\(\angle AO_1L\) и \(\angle MO_1K\) — вертикальные углы. \(\angle AO_1L = 23^\circ\).\(\angle CO_2K = \alpha\). \(\angle AO_1L\) и \(\alpha\) — накрест лежащие углы.\(\angle AO_1L = 23^\circ\). \(\angle MO_1K = 23^\circ\).\(\angle CO_3D = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ\).\(\angle AO_1L = 62^\circ\). \(\angle MO_1K = 23^\circ\).\(\angle MO_3D = 118^\circ\). \(\angle AO_1K = 180^\circ - 23^\circ = 157^\circ\).\(\alpha\) — угол \(\angle CO_2K\). \(\angle AO_1L\) и \(\alpha\) — накрест лежащие. \(\angle AO_1L = 62^\circ\). \(\alpha = 62^\circ\).\(\angle MO_1K = 23^\circ\). \(\angle CO_2L\) — соответственные углы. \(\angle CO_2L = 23^\circ\).\(\angle CO_2K = 180^\circ - \angle CO_2L = 180^\circ - 23^\circ = 157^\circ\).\(\angle MO_3D = 118^\circ\). \(\angle CO_3D = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ\).\(\angle CO_3D\) и \(\angle AO_1L\) — соответственные углы. \(\angle AO_1L = 62^\circ\).\(\angle AO_1L\) и \(\angle MO_1K\) — вертикальные углы. \(\angle AO_1L = 23^\circ\).\(\alpha\) — это \(\angle CO_2K\). \(\angle AO_1L\) и \(\alpha\) — накрест лежащие углы. \(\alpha = 62^\circ\).\(\angle MO_1K = 23^\circ\). \(\angle CO_2L\) — соответственные углы. \(\angle CO_2L = 23^\circ\).\(\alpha = \angle CO_2K = 180^\circ - \angle CO_2L = 180^\circ - 23^\circ = 157^\circ\).\(\angle MO_3D = 118^\circ\). \(\angle CO_3D = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ\).\(\angle CO_3D\) и \(\angle AO_1L\) — соответственные углы. \(\angle AO_1L = 62^\circ\).\(\angle AO_1L\) и \(\angle MO_1K\) — вертикальные углы. \(\angle AO_1L = 23^\circ\).\(\angle AO_1L\) и \(\alpha\) — накрест лежащие углы. \(\alpha = 62^\circ\).\(\angle MO_1K = 23^\circ\). \(\angle CO_2L\) — соответственные углы. \(\angle CO_2L = 23^\circ\).\(\alpha = \angle CO_2K = 180^\circ - \angle CO_2L = 180^\circ - 23^\circ = 157^\circ\).\(\angle MO_3D = 118^\circ\). \(\angle CO_3D = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ\).\(\angle CO_3D\) и \(\angle AO_1L\) — соответственные углы. \(\angle AO_1L = 62^\circ\).\(\angle AO_1L\) и \(\alpha\) — накрест лежащие углы. \(\alpha = 62^\circ\).Ответ: \(62^\circ\).
Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
