На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательные к нему в точках с абсциссами А, В, С, D. Установите соответствие между точками и значениями производной: Значения: 1) -2; 2) 3; 3) -0,5; 4) 1,5.

Решение:

Производная функции в точке геометрически представляет собой угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент показывает, насколько круто линия идет вверх или вниз.

Рассмотрим каждую точку:

• Точка А: Касательная в точке А наклонена вниз (отрицательный наклон), и идет достаточно круто. Среди предложенных отрицательных значений, -2 является более крутым наклоном, чем -0,5.
• Точка В: Касательная в точке В горизонтальна, что означает угловой коэффициент равен 0. Однако, такого значения нет в предложенных вариантах. Судя по графику, точка B является минимумом функции, где производная равна 0. Если предполагать, что касательная проведена не точно, то по наклону справа и слева от минимума, мы должны видеть положительный и отрицательный наклон. Учитывая, что точка B близка к минимуму, ее производная близка к 0. Среди отрицательных вариантов, -0,5 является наименьшим по модулю, что соответствует более пологому наклону.
• Точка С: Касательная в точке С наклонена вверх (положительный наклон), и идет достаточно круто. Из положительных значений, 1,5 соответствует более крутому подъему, чем 3.
• Точка D: Касательная в точке D наклонена вверх (положительный наклон), и идет еще круче, чем в точке С. Следовательно, значение производной должно быть больше. 3 подходит для этой точки.

Установим соответствие:

• А — 1) -2 (крутой отрицательный наклон)
• B — 3) -0,5 (пологий отрицательный наклон, близкий к минимуму)
• C — 4) 1,5 (умеренный положительный наклон)
• D — 2) 3 (крутой положительный наклон)

Ответ: А-1, В-3, С-4, D-2