На рисунке изображен график функции y = x² + ax + b. Известно, что ОА = ОВ. Найдите длину отрезка ОС.

Решение:

На рисунке изображена парабола, которая является графиком функции \( y = x^2 + ax + b \). Точка \( O \) — начало координат (0;0). Точка \( B \) лежит на оси \( y \), значит, её координата \( x = 0 \). Подставим \( x = 0 \) в уравнение функции: \( y = 0^2 + a \cdot 0 + b = b \). Таким образом, координата точки \( B \) — \( (0, b) \). Длина отрезка \( OB \) равна \( |b| \).

Точки \( A \) и \( C \) лежат на оси \( x \), значит, их координата \( y = 0 \). Уравнение пересечения параболы с осью \( x \) имеет вид \( x^2 + ax + b = 0 \). Точки \( A \) и \( C \) являются корнями этого уравнения. Пусть \( x_A \) и \( x_C \) — абсциссы точек \( A \) и \( C \) соответственно. Тогда \( OA = |x_A| \) и \( OC = |x_C| \).

Известно, что \( OA = OB \). Следовательно, \( |x_A| = |b| \). Это означает, что \( x_A = b \) или \( x_A = -b \).

По теореме Виета для уравнения \( x^2 + ax + b = 0 \), произведение корней \( x_A \) и \( x_C \) равно \( b \): \( x_A · x_C = b \).

Рассмотрим два случая:

1. Если \( x_A = b \). Тогда \( b · x_C = b \). Если \( b \neq 0 \), то \( x_C = 1 \). В этом случае \( OC = |x_C| = |1| = 1 \).
2. Если \( x_A = -b \). Тогда \( -b · x_C = b \). Если \( b \neq 0 \), то \( x_C = -1 \). В этом случае \( OC = |x_C| = |-1| = 1 \).

Если \( b=0 \), то \( OB = 0 \), следовательно \( OA = 0 \). Это означает, что \( A \) и \( C \) совпадают с \( O \), и \( OC = 0 \). Однако, по рисунку видно, что \( A \) и \( C \) отличны от \( O \), поэтому \( b \neq 0 \).

Таким образом, в обоих случаях \( OC = 1 \).

Ответ: 1.