Контрольные задания > На рисунке изображен график функции y = 2x - 5 / x - 3, определённой на (-∞; 3) ∪ (3; +∞): Найдите множество значений данной функции:
Вопрос:

На рисунке изображен график функции y = 2x - 5 / x - 3, определённой на (-∞; 3) ∪ (3; +∞): Найдите множество значений данной функции:

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Привет! Давай разберемся с этим заданием вместе.

Мы видим график функции y = (2x - 5) / (x - 3). Наша задача — найти множество значений этой функции, то есть все возможные значения, которые может принимать y.

1. Анализируем график:

  • График состоит из двух ветвей, расположенных вокруг вертикальной асимптоты x = 3 и горизонтальной асимптоты y = 2.
  • Вертикальная асимптота x = 3 показывает, что функция не определена в этой точке.
  • Горизонтальная асимптота y = 2 показывает, к какому значению стремится функция при x, стремящемся к плюс или минус бесконечности.
  • Обрати внимание, что график никогда не пересекает горизонтальную асимптоту y = 2.

2. Математический анализ (для большей уверенности):

Чтобы найти множество значений, мы можем попробовать выразить x через y:

y = (2x - 5) / (x - 3)

Умножим обе части на (x - 3):

y(x - 3) = 2x - 5

Раскроем скобки:

xy - 3y = 2x - 5

Соберем все члены с x в одной стороне, а остальные — в другой:

xy - 2x = 3y - 5

Вынесем x за скобки:

x(y - 2) = 3y - 5

Теперь выразим x:

x = (3y - 5) / (y - 2)

Чтобы x существовал, знаменатель (y - 2) не должен быть равен нулю. Значит, y - 2 ≠ 0, откуда y ≠ 2.

Это подтверждает, что горизонтальная асимптота y = 2 является значением, которое функция никогда не принимает.

3. Вывод:

График показывает, что функция может принимать любые значения, кроме 2. На графике видно, что ветви функции уходят вверх и вниз, приближаясь к y=2, но никогда не достигая его.

Ответ: y ∈ (-∞; 2) ∪ (2; +∞)

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю