На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [-6; 9].

Решение:

Точки максимума функции \( f(x) \) соответствуют точкам, где её производная \( f'(x) \) меняет знак с плюса на минус. На графике производной \( y = f'(x) \) это соответствует точкам, где график пересекает ось \( Ox \) справа налево, переходя из положительной полуплоскости в отрицательную.

Рассмотрим график на отрезке \( [-6; 9] \).

1. На отрезке \( [-6; -5) \) производная \( f'(x) > 0 \), следовательно, функция \( f(x) \) возрастает.
2. В точке \( x = -5 \) производная \( f'(x) = 0 \).
3. На отрезке \( (-5; -2) \) производная \( f'(x) < 0 \), следовательно, функция \( f(x) \) убывает.
4. В точке \( x = -2 \) производная \( f'(x) = 0 \).
5. На отрезке \( (-2; 1) \) производная \( f'(x) > 0 \), следовательно, функция \( f(x) \) возрастает.
6. В точке \( x = 1 \) производная \( f'(x) = 0 \).
7. На отрезке \( (1; 9] \) производная \( f'(x) < 0 \), следовательно, функция \( f(x) \) убывает.

Точка максимума функции \( f(x) \) находится там, где производная \( f'(x) \) меняет знак с плюса на минус. Это происходит в точке \( x = -5 \) (смена знака с \( + \) на \( - \)) и в точке \( x = 1 \) (смена знака с \( + \) на \( - \)).

Таким образом, на отрезке \( [-6; 9] \) функция \( f(x) \) имеет две точки максимума: \( x = -5 \) и \( x = 1 \).

Ответ: 2