На рисунке изображен график y = f(x) функции определенной на интервале (-0,5; 4,1). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Решение:

Производная функции \( f'(x) \) положительна там, где функция \( f(x) \) возрастает. На графике видно, что функция возрастает на интервалах \( (-0,5; 1) \) и \( (2; 2.5) \) (приблизительно, так как точное значение вершины второго локального максимума не указано, но явно видно, что оно находится между 2 и 3).

Целые точки на интервале \( (-0,5; 4,1) \) — это \( 0, 1, 2, 3, 4 \).

Рассмотрим, на каких из этих целых точек функция возрастает:

• В точке \( x = 0 \) функция возрастает (принадлежит интервалу \( (-0,5; 1) \)).
• В точке \( x = 1 \) функция достигает локального максимума, производная равна нулю, значит, не является положительной.
• В точке \( x = 2 \) функция убывает (находится между локальным максимумом в \( x = 1 \) и локальным минимумом около \( x = 2.5 \)).
• В точке \( x = 3 \) функция возрастает (находится между локальным минимумом около \( x = 2.5 \) и локальным максимумом около \( x = 3.5 \)).
• В точке \( x = 4 \) функция убывает.

Таким образом, производная функции положительна в целых точках \( x = 0 \) и \( x = 3 \).

Ответ: 2.