На рисунке изображена касательная к графику f(x). График и касательная имеют одну общую точку с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции в точке x₀.

Решение:

Значение производной функции в точке \( x_0 \) равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

На графике изображена касательная, проходящая через точки \( (x_0, y_1) \) и \( (x_0 + 1, y_2) \).

Из графика видно, что точка \( x_0 \) соответствует значению \( x \) примерно между 1 и 2. Более точно, точка на графике \( f(x) \) при \( x=x_0 \) и точка на касательной при \( x=x_0 \) совпадают. Также, мы видим, что касательная проходит через точку \( (x_0, y_1) \) и другую точку, которая выглядит как \( (x_0+1, y_2) \).

Рассмотрим два удобных для определения точки на касательной:

• Точка \( P_1 \) на оси \( x \) с координатой \( x_0 \). Значение \( y \) для этой точки на касательной равно значению \( f(x_0) \). Судя по графику, \( f(x_0) \) находится чуть выше \( y=1 \).
• Точка \( P_2 \) имеет координату \( x = x_0 + 1 \) (один шаг вправо от \( x_0 \)). Соответствующее значение \( y \) на касательной равно \( f(x_0) + 2 \) (два шага вверх от \( f(x_0) \)).

Для точного определения координат, давайте посмотрим на сетку:

Точка \( x_0 \) находится на сетке. Ось \( y \) имеет отметку 1. Ось \( x \) имеет отметки 0 и 1.

Касательная проходит через точку \( (x_0, y_{x_0}) \). Другая точка на касательной, которую можно легко определить, имеет координаты \( (x_0+1, y_{x_0}+2) \).

Угловой коэффициент (производная) \( k \) находится по формуле: \( k = \frac{\Delta y}{\Delta x} \).

Возьмём две точки на касательной. Одна из них — точка касания \( (x_0, f(x_0)) \). По графику, \( x_0 \) приблизительно \( 1.5 \).

Однако, более простым способом является найти две точки, через которые проходит касательная. Судя по графику, касательная проходит через точку \( (x_0, f(x_0)) \) и точку \( (x_0+1, f(x_0)+2) \). Это означает, что при изменении \( x \) на 1 (от \( x_0 \) до \( x_0+1 \)), \( y \) изменяется на 2.

Значит, изменение \( y \) равно \( +2 \), а изменение \( x \) равно \( +1 \).

Следовательно, угловой коэффициент касательной \( k = \frac{2}{1} = 2 \).

Значение производной функции в точке \( x_0 \) равно угловому коэффициенту касательной.

\( f'(x_0) = k = 2 \).

Ответ: 2.