На рисунке изображена трапеция с основаниями AD и BC и с перпендикулярными диагоналями. Найдите длину отрезка AE, если известно, что AD = 27, BC = 10.

Обозначим через E основание перпендикуляра из точки B на AD. По отметкам на рисунке \(BE=ED\).

Пусть \(AE=x\). Тогда, поскольку \(AD=27\), получаем:

\[ED=AD-AE=27-x.\]

Так как \(BE=ED\), то \(BE=27-x\).

Диагонали \(AC\) и \(BD\) перпендикулярны. Рассмотрим их горизонтальные и вертикальные составляющие:

\[AC^2=(x+10)^2+BE^2,\qquad BD^2=(27-x)^2+BE^2.\]

Из условия перпендикулярности диагоналей скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю:

\[(x+10)(27-x)-BE^2=0.\]

Подставим \(BE=27-x\):

\[(x+10)(27-x)-(27-x)^2=0.\]

\[(27-x)(x+10-27+x)=0,\]

\[(27-x)(2x-17)=0.\]

Так как \(x\ne27\), имеем:

\[2x-17=0,\qquad x=\frac{17}{2}=8{,}5.\]

Ответ: \(AE=8{,}5\).