На рисунке изображена «змейка», состоящая из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки 1х1. Последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 120.

Решение:

Длина звеньев «змейки» увеличивается в арифметической прогрессии. Разность прогрессии равна 2 (так как каждое следующее звено длиннее предыдущего на 2 клетки, например: 2, 4, 6, 8, 10...).

Пусть \( a_n \) — длина \( n \)-го звена.

Первое звено имеет длину 2 клетки.

\( a_n = a_1 + (n-1)d \)

Нам известно, что последнее звено имеет длину 10, то есть \( a_n = 10 \).

\( 10 = 2 + (n-1)2 \)

\( 10 - 2 = 2(n-1) \)

\( 8 = 2(n-1) \)

\( 4 = n-1 \)

\( n = 5 \)

Таким образом, в «змейке» 5 звеньев.

Для «змейки» с последним звеном длиной 120:

\( 120 = 2 + (n-1)2 \)

\( 118 = 2(n-1) \)

\( 59 = n-1 \)

\( n = 60 \)

В этой «змейке» 60 звеньев.

Сумма \( n \) членов арифметической прогрессии: \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \)

Длина первой «змейки»: \( S_5 = \frac{2 + 10}{2} \cdot 5 = \frac{12}{2} \cdot 5 = 6 \cdot 5 = 30 \) клеток.

Длина второй «змейки»: \( S_{60} = \frac{2 + 120}{2} \cdot 60 = \frac{122}{2} \cdot 60 = 61 \cdot 60 = 3660 \) клеток.

Ответ: 3660.