3. На рисунке изображено дерево случайного опыта Ѕ. а) Являются ли события А и В независимыми? Объясните ответ. б) Найдите вероятность события С по данным рисунка.

a) События A и B не являются независимыми, так как вероятность события B зависит от того, произошло ли событие A. На рисунке видно, что P(B|A) = 2/5, в то время как P(B|Ā) = 2/5. Если бы события были независимыми, то P(B|A) должно было бы равняться P(B).

б) Вероятность события C можно найти, сложив вероятности всех путей, ведущих к C. Эти пути соответствуют событиям (A и B) и (Ā и B).

Вероятность P(C) рассчитывается следующим образом:

$$P(C) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)$$ $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{15}$$ $$P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{15}$$ $$P(C) = \frac{2}{15} + \frac{4}{15} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$$

Ответ: Вероятность события C равна 2/5.