На рисунке изображены два треугольника АОС и BOD со сторонами АО = 3 см, ВО = 6 см, СО = 5 см, DO = 4 см, причём стороны СО и OD лежат на одной прямой, как и стороны АО и ОВ. Сумма площадей этих треугольников равна 13 см². Найдите площадь треугольника АОС Ответ дайте в см².

Обозначим площадь треугольника AOC как $$S_{AOC}$$, а площадь треугольника BOD как $$S_{BOD}$$.

Углы AOC и BOD вертикальные, следовательно, они равны. Площади треугольников, имеющих равные углы, относятся как произведения сторон, заключающих эти углы.

$$\frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = \frac{AO \cdot CO}{BO \cdot DO} = \frac{3 \cdot 5}{6 \cdot 4} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}$$

Сумма площадей этих треугольников равна 13 см²: $$S_{AOC} + S_{BOD} = 13$$

Выразим $$S_{BOD}$$ через $$S_{AOC}$$:

$$S_{BOD} = \frac{8}{5} S_{AOC}$$

Подставим в уравнение:

$$S_{AOC} + \frac{8}{5} S_{AOC} = 13$$

$$\frac{5}{5}S_{AOC} + \frac{8}{5} S_{AOC} = 13$$

$$\frac{13}{5} S_{AOC} = 13$$

$$S_{AOC} = 13 \cdot \frac{5}{13} = 5$$

Ответ: 5