На рисунке изображены графики функций f(x) = −8x + 13 и g(x) = ax² + bx + с, пересекающиеся в точках А и В. Найдите абсциссу точки B.

Решение:

Для нахождения абсциссы точки пересечения двух функций, необходимо приравнять их выражения: \( f(x) = g(x) \).

Из графика видно, что точка А имеет координаты \( (1, 5) \). Подставим эти координаты в уравнение прямой \( f(x) \):

\( f(1) = -8(1) + 13 = -8 + 13 = 5 \). Это подтверждает, что точка А действительно принадлежит графику \( f(x) \).

Теперь подставим координаты точки А в уравнение параболы \( g(x) \):

\( g(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c \).

Так как \( g(1) = 5 \), получаем первое уравнение:

\( a + b + c = 5 \) (1)

Из графика также видно, что точка В имеет приблизительные координаты \( (2, -3) \). Подставим эти координаты в уравнение прямой \( f(x) \):

\( f(2) = -8(2) + 13 = -16 + 13 = -3 \). Это подтверждает, что точка В действительно принадлежит графику \( f(x) \).

Теперь подставим координаты точки В в уравнение параболы \( g(x) \):

\( g(2) = a(2)^2 + b(2) + c = 4a + 2b + c \).

Так как \( g(2) = -3 \), получаем второе уравнение:

\( 4a + 2b + c = -3 \) (2)

Из графика также видно, что парабола проходит через точку \( (0, 3) \) (это пересечение с осью Y, то есть \( c \)).

\( g(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c \).

Значит, \( c = 3 \).

Подставим \( c = 3 \) в уравнения (1) и (2):

\( a + b + 3 = 5 \) → \( a + b = 2 \) (3)

\( 4a + 2b + 3 = -3 \) → \( 4a + 2b = -6 \) → \( 2a + b = -3 \) (4)

Теперь решим систему уравнений (3) и (4):

Вычтем уравнение (3) из уравнения (4):

\( (2a + b) - (a + b) = -3 - 2 \)

\( a = -5 \)

Подставим \( a = -5 \) в уравнение (3):

\( -5 + b = 2 \) → \( b = 7 \)

Таким образом, уравнение параболы: \( g(x) = -5x^2 + 7x + 3 \).

Чтобы найти точки пересечения, приравниваем \( f(x) = g(x) \):

\( -8x + 13 = -5x^2 + 7x + 3 \)

Перенесём все члены в одну сторону:

\( 5x^2 - 8x - 7x + 13 - 3 = 0 \)

\( 5x^2 - 15x + 10 = 0 \)

Разделим на 5:

\( x^2 - 3x + 2 = 0 \)

Это квадратное уравнение. Мы уже знаем, что одной из точек пересечения является точка А с абсциссой \( x = 1 \). Проверим:

\( 1^2 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \).

Найдем второй корень (абсциссу точки В). Используем теорему Виета: произведение корней \( x_1 \times x_2 = 2 \). Так как \( x_1 = 1 \), то \( 1 \times x_2 = 2 \), откуда \( x_2 = 2 \).

Абсцисса точки В равна 2.

Ответ: 2