На рисунке изображены графики функций f(x) = ax + b и g(x) = k/x, которые пересекаются в точках А и В. Найдите ординату точки В.

Решение:

На рисунке изображены графики функций \( f(x) = ax + b \) (прямая) и \( g(x) = \frac{k}{x} \) (гипербола). Точка А является точкой пересечения графиков. Точка В также является точкой пересечения графиков.

Рассмотрим график функции \( g(x) = \frac{k}{x} \). Через точку \( (1, 1) \) и \( (-1, -1) \) проходит одна ветвь гиперболы. Подставим точку \( (1, 1) \) в уравнение \( g(x) = \frac{k}{x} \): \( 1 = \frac{k}{1} \), следовательно, \( k = 1 \). Уравнение гиперболы: \( g(x) = \frac{1}{x} \).

Точка А имеет координаты \( (1, 1) \). Эта точка лежит на обеих функциях.

Рассмотрим график функции \( f(x) = ax + b \). Через точку \( (0, -1) \) и \( (1, 1) \) проходит прямая. Подставим эти точки в уравнение \( f(x) = ax + b \):

• При \( x = 0 \): \( 1 = a \cdot 0 + b \) \( \Rightarrow \) \( b = 1 \).
• При \( x = 1 \): \( 1 = a \cdot 1 + 1 \) \( \Rightarrow \) \( a = 0 \).

Это означает, что точка А (1,1) не лежит на прямой, а является точкой, где гипербола и прямая пересекаются. Прямая проходит через точки \( (0, -1) \) и \( (1, 1) \). Используем эти точки для определения \( a \) и \( b \).

• Подставим \( (0, -1) \): \( -1 = a \cdot 0 + b \) \( \Rightarrow \) \( b = -1 \).
• Подставим \( (1, 1) \): \( 1 = a \cdot 1 + (-1) \) \( \Rightarrow \) \( 1 = a - 1 \) \( \Rightarrow \) \( a = 2 \).

Таким образом, уравнение прямой: \( f(x) = 2x - 1 \).

Теперь найдём точки пересечения функций \( f(x) = 2x - 1 \) и \( g(x) = \frac{1}{x} \). Приравняем их:

\( 2x - 1 = \frac{1}{x} \)

Умножим обе части на \( x \) (при \( x \neq 0 \)):

\( 2x^2 - x = 1 \)

\( 2x^2 - x - 1 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

• Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \).
• \( x_1 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5 \)
• \( x_2 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1 \)

Мы знаем, что точка А имеет координату \( x = 1 \). Следовательно, точка В имеет координату \( x = -0.5 \).

Найдём ординату точки В, подставив \( x = -0.5 \) в любое из уравнений. Используем уравнение прямой \( f(x) = 2x - 1 \):

\( y_B = 2 \cdot (-0.5) - 1 = -1 - 1 = -2 \).

Проверим по уравнению гиперболы \( g(x) = \frac{1}{x} \):

\( y_B = \frac{1}{-0.5} = -2 \).

Ордината точки В равна -2.

Ответ: -2.