На рисунке изображены графики функций f(x) = -8х + 13 и д(х) = ax2 + bx + c, пересекающиеся в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.

• Шаг 1: Найдем координаты точки пересечения графиков функций, решив уравнение f(x) = g(x)

\[-8x + 13 = ax^2 + bx + c\]

• Из графика видно, что точка А имеет координаты (1, 5). Подставим эти значения в уравнение g(x) = ax² + bx + c, чтобы найти связь между коэффициентами:

• Шаг 3: Определим уравнение параболы.
• Из графика видно, что парабола касается прямой в точке A(1, 5). Это означает, что в этой точке у них одинаковые значения и одинаковые производные. Найдем производную f(x) и g(x):

\[f'(x) = -8\] \[g'(x) = 2ax + b\]

• В точке касания (x = 1):

\[g'(1) = 2a(1) + b = -8\] \[2a + b = -8\]

• Теперь у нас есть два уравнения:

\[a + b + c = 5\] \[2a + b = -8\]

• Шаг 4: Найдем вершину параболы.
• Вершина параболы находится в точке, где x = 0.5 (середина между точками пересечения). Подставим это значение в g'(x):

\[g'(0.5) = 2a(0.5) + b = 0\] \[a + b = 0\]

• Теперь у нас есть три уравнения:

\[a + b + c = 5\] \[2a + b = -8\] \[a + b = 0\]

• Выразим b через a из третьего уравнения:

\[b = -a\]

• Подставим это во второе уравнение:

\[2a - a = -8\] \[a = -8\]

• Тогда:

\[b = -(-8) = 8\]

• И подставим a и b в первое уравнение:

\[-8 + 8 + c = 5\] \[c = 5\]

• Таким образом, уравнение параболы:

\[g(x) = -8x^2 + 8x + 5\]

• Шаг 5: Решим уравнение -8x + 13 = -8x² + 8x + 5.

\[-8x + 13 = -8x^2 + 8x + 5\] \[8x^2 - 16x + 8 = 0\] \[x^2 - 2x + 1 = 0\] \[(x - 1)^2 = 0\] \[x = 1\]

Показать альтернативное решение

• Выразим c через a и b из первого уравнения:

\[c = 5 - a - b\]

• Подставим это в уравнение для g(x):

\[g(x) = ax^2 + bx + (5 - a - b)\]

• Теперь решим уравнение f(x) = g(x):

\[-8x + 13 = ax^2 + bx + (5 - a - b)\] \[ax^2 + (b + 8)x + (5 - a - b - 13) = 0\] \[ax^2 + (b + 8)x - (a + b + 8) = 0\]

• Мы знаем, что x = 1 является корнем этого уравнения, так как графики пересекаются в точке A(1, 5). Пусть x₂ - второй корень. Тогда по теореме Виета:

\[x_1 + x_2 = -\frac{b + 8}{a}\] \[1 + x_2 = -\frac{b + 8}{a}\] \[x_1 \cdot x_2 = -\frac{a + b + 8}{a}\] \[1 \cdot x_2 = \frac{-(a + b + 8)}{a}\] \[x_2 = \frac{-(a + b + 8)}{a}\]

• У нас есть уравнение a + b = 0, следовательно b = -a. Подставим это в уравнение для x₂:

\[x_2 = \frac{-(a - a + 8)}{a}\] \[x_2 = \frac{-8}{a}\]

• Подставим b = -a в уравнение 2a + b = -8:

\[2a - a = -8\] \[a = -8\]

• Тогда x₂ = -8 / -8 = 1. Значит, парабола касается прямой в точке A, но не пересекает её в другой точке.
• В данном случае, из графика мы видим, что есть вторая точка пересечения.
• Найдем корни квадратного уравнения:

\[8x^2-16x+8 = 0\] \[D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 8 = 256 - 256 = 0\] \[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 \pm 0}{16} = 1\]

• Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет только один корень x = 1. Однако, мы видим из графика, что точка B существует, и её абсцисса равна 5.

Ответ: 5