На рисунке изображены графики функций видов f(x) = k/x и g(x) = ax + b, пересекающиеся в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.

Решение:

На рисунке представлены графики двух функций: гиперболы \(f(x) = \frac{k}{x}\) и прямой \(g(x) = ax + b\). Они пересекаются в точках А и В.

1. Определим параметры функции \(f(x) = \frac{k}{x}\)

Мы видим, что одна из точек пересечения, А, имеет координаты \((3; -1)\). Подставим эти координаты в уравнение функции \(f(x)\), чтобы найти \(k\):

\[ -1 = \frac{k}{3} \]

Умножив обе части на 3, получаем:

\[ k = -1 \cdot 3 = -3 \]

Таким образом, уравнение гиперболы: \(f(x) = \frac{-3}{x}\).

2. Определим параметры функции \(g(x) = ax + b\)

Для нахождения \(a\) и \(b\) нам понадобится информация о двух точках, через которые проходит прямая. На графике отмечены две точки: \(A(3; -1)\) и \(B_{координаты}\) (которую мы пока не знаем, но видим, что она является точкой пересечения с гиперболой, и нам дана точка \((4; 4)\) на прямой). Используем точку \((4; 4)\), которая лежит на прямой:

\[ 4 = a \cdot 4 + b \]

Также мы знаем, что точка \(A(3; -1)\) лежит на прямой:

\[ -1 = a \cdot 3 + b \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

\[ \begin{cases} 4a + b = 4 \\ 3a + b = -1 \end{cases} \]

Вычтем второе уравнение из первого:

\[ (4a + b) - (3a + b) = 4 - (-1) \]

\[ a = 5 \]

Подставим \(a = 5\) в первое уравнение:

\[ 4(5) + b = 4 \]

\[ 20 + b = 4 \]

\[ b = 4 - 20 = -16 \]

Уравнение прямой: \(g(x) = 5x - 16\).

3. Найдем точку пересечения В

Точка В является точкой пересечения графиков \(f(x) = \frac{-3}{x}\) и \(g(x) = 5x - 16\). Приравняем уравнения:

\[ \frac{-3}{x} = 5x - 16 \]

Умножим обе части на \(x\) (при условии, что \(x
eq 0\)):

\[ -3 = 5x^2 - 16x \]

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 5x^2 - 16x + 3 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\):

\[ D = (-16)^2 - 4(5)(3) = 256 - 60 = 196 \]

\( \sqrt{D} = \sqrt{196} = 14 \)

Найдем корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 + 14}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 - 14}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = 0.2 \]

Мы знаем, что одна из точек пересечения — это точка А с абсциссой \(x = 3\). Следовательно, вторая точка пересечения, В, имеет абсциссу \(x = 0.2\).

4. Проверка (необязательно, но полезно)

Подставим \(x = 0.2\) в уравнения обеих функций:

Для \(f(x) = \frac{-3}{x}\):

\[ f(0.2) = \frac{-3}{0.2} = \frac{-3}{1/5} = -3 \cdot 5 = -15 \]

Для \(g(x) = 5x - 16\):

\[ g(0.2) = 5(0.2) - 16 = 1 - 16 = -15 \]

Значения совпадают, значит, точка В имеет координаты \((0.2; -15)\). Нас просят найти абсциссу точки В.

Ответ: 0.2