На рисунке изображён график функции f(x) = ax² + bx + c. Найдите f(2).

Анализ графика функции

На графике мы видим параболу, ветви которой направлены вниз. Это означает, что коэффициент a отрицательный.

Также на графике отмечены три точки:

• Первая точка: \( (-3, -1) \)
• Вторая точка: \( (-2, 2) \) (вершина параболы)
• Третья точка: \( (-1, 1) \)

Подставим координаты этих точек в уравнение функции \( f(x) = ax^2 + bx + c \), чтобы найти коэффициенты a, b и c.

Из вершины параболы \( x_в = -2 \), мы знаем, что \( x_в = -b / (2a) \). Значит, \( -b / (2a) = -2 \), откуда \( b = 4a \).

Теперь подставим известные точки в уравнение:

1. Через точку \( (-3, -1) \):
   \[ -1 = a(-3)^2 + b(-3) + c \]
   \[ -1 = 9a - 3b + c \]
2. Через вершину \( (-2, 2) \):
   \[ 2 = a(-2)^2 + b(-2) + c \]
   \[ 2 = 4a - 2b + c \]
3. Через точку \( (-1, 1) \):
   \[ 1 = a(-1)^2 + b(-1) + c \]
   \[ 1 = a - b + c \]

Теперь решим систему уравнений:

Подставим \( b = 4a \) в уравнения:

1. \( -1 = 9a - 3(4a) + c \) → \( -1 = 9a - 12a + c \) → \( -1 = -3a + c \)
2. \( 2 = 4a - 2(4a) + c \) → \( 2 = 4a - 8a + c \) → \( 2 = -4a + c \)
3. \( 1 = a - (4a) + c \) → \( 1 = a - 4a + c \) → \( 1 = -3a + c \)

Из первого и третьего уравнения мы видим, что \( -1 = -3a + c \) и \( 1 = -3a + c \). Это означает, что третье уравнение противоречит первым двум, и скорее всего, точка (-1, 1) или (-3, -1) является неточной. Давайте проверим второе уравнение с помощью третьего:

Вычтем уравнение (3) из уравнения (2):
\[ (2) - (3): (2) - (1) = (-4a + c) - (-3a + c) \]
\[ 2 - 1 = -4a + c + 3a - c \]
\[ 1 = -a \]
\[ a = -1 \]

Теперь, когда мы знаем \( a = -1 \), найдем \( b \) и \( c \).

Подставим \( a = -1 \) в \( b = 4a \):
\[ b = 4(-1) \]
\[ b = -4 \]

Подставим \( a = -1 \) и \( b = -4 \) в уравнение (3):
\[ 1 = a - b + c \]
\[ 1 = (-1) - (-4) + c \]
\[ 1 = -1 + 4 + c \]
\[ 1 = 3 + c \]
\[ c = 1 - 3 \]
\[ c = -2 \]

Итак, уравнение функции: \( f(x) = -x^2 - 4x - 2 \).

Теперь найдем \( f(2) \):

\( f(2) = -(2)^2 - 4(2) - 2 \)
\[ f(2) = -4 - 8 - 2 \]
\[ f(2) = -14 \]

Ответ: f(2) = -14.