На рисунке изображён график функции f(x) = -x²+bx+c. Найдите значения x, при которых f(x) = -65.

Разбираемся:

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Определим координаты вершины параболы. По графику видно, что вершина находится в точке (3; 1). Это означает, что при x = 3, f(x) = 1.
• Шаг 2: Подставим координаты вершины в уравнение функции:

\[f(3) = -(3)^2 + b(3) + c = 1\]

\[-9 + 3b + c = 1\]

\[3b + c = 10\]

• Шаг 3: Так как вершина параболы имеет x = 3, то можно найти коэффициент b, используя формулу для x вершины параболы:

\[x = -\frac{b}{2a}\]

В нашем случае a = -1, x = 3:

\[3 = -\frac{b}{2(-1)}\]

\[3 = \frac{b}{2}\]

\[b = 6\]

• Шаг 4: Подставим значение b в уравнение 3b + c = 10:

\[3(6) + c = 10\]

\[18 + c = 10\]

\[c = -8\]

• Шаг 5: Теперь у нас есть уравнение функции:

\[f(x) = -x^2 + 6x - 8\]

• Шаг 6: Найдём значения x, при которых f(x) = -65:

\[-x^2 + 6x - 8 = -65\]

\[-x^2 + 6x + 57 = 0\]

\[x^2 - 6x - 57 = 0\]

• Шаг 7: Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(-57) = 36 + 228 = 264\]

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{264}}{2} = \frac{6 + 2\sqrt{66}}{2} = 3 + \sqrt{66}\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{264}}{2} = \frac{6 - 2\sqrt{66}}{2} = 3 - \sqrt{66}\]

Ответ: 3 + √66, 3 - √66