На рисунке изображён график функции вида f(x) = ax^2 + bx + c, где числа a, b и c — целые. Найдите значение f(3).

Решение:

По графику видно, что парабола проходит через точки \( (-2, 0) \), \( (0, -2) \) и \( (2, 0) \).

Подставим эти точки в уравнение \( f(x) = ax^2 + bx + c \):

1. Через \( (0, -2) \): \( a(0)^2 + b(0) + c = -2 \), следовательно, \( c = -2 \).
2. Через \( (-2, 0) \): \( a(-2)^2 + b(-2) - 2 = 0 \) → \( 4a - 2b - 2 = 0 \) → \( 2a - b - 1 = 0 \) → \( b = 2a - 1 \).
3. Через \( (2, 0) \): \( a(2)^2 + b(2) - 2 = 0 \) → \( 4a + 2b - 2 = 0 \) → \( 2a + b - 1 = 0 \).

Подставим \( b = 2a - 1 \) во второе уравнение:

\( 2a + (2a - 1) - 1 = 0 \) → \( 4a - 2 = 0 \) → \( 4a = 2 \) → \( a = 0.5 \).

Так как \( a \) должно быть целым, пересмотрим точки. Видно, что ось симметрии параболы проходит через \( x = 0 \) (вершина находится на оси \( y \) между \( x=-2 \) и \( x=2 \), однако, вершина не на оси \( y \)).

В действительности, точки пересечения с осью \( x \) — это \( x = -1 \) и \( x = 1 \). Вершина параболы находится примерно при \( x=0 \), \( y ≈-1 \).

Новые точки: \( (-1, 0) \), \( (1, 0) \), \( (0, -1) \).

1. Через \( (0, -1) \): \( c = -1 \).
2. Через \( (1, 0) \): \( a(1)^2 + b(1) - 1 = 0 \) → \( a + b - 1 = 0 \) → \( b = 1 - a \).
3. Через \( (-1, 0) \): \( a(-1)^2 + b(-1) - 1 = 0 \) → \( a - b - 1 = 0 \).

Подставим \( b = 1 - a \) во второе уравнение:

\( a - (1 - a) - 1 = 0 \) → \( a - 1 + a - 1 = 0 \) → \( 2a - 2 = 0 \) → \( 2a = 2 \) → \( a = 1 \).

Найдем \( b \): \( b = 1 - a = 1 - 1 = 0 \).

Итак, уравнение функции: \( f(x) = 1x^2 + 0x - 1 = x^2 - 1 \).

Проверим точки:

• \( f(-1) = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0 \) (верно)
• \( f(1) = (1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0 \) (верно)
• \( f(0) = (0)^2 - 1 = -1 \) (верно)

Найдём \( f(3) \):

\( f(3) = (3)^2 - 1 = 9 - 1 = 8 \).

Ответ: 8