На рисунке изображён график функции вида f(x) = ax^2 + bx + c. Найдите значение f(-2).

Решение:

На графике мы видим параболу, которая является графиком квадратичной функции \( f(x) = ax^2 + bx + c \). По графику можно определить следующие точки, принадлежащие этой параболе:

• Вершина параболы находится в точке \( (1, -1) \).
• Парабола проходит через точку \( (0, 0) \).
• Парабола проходит через точку \( (2, 0) \).

Подставим координаты точек в уравнение функции:

1. Через \( (0, 0) \): \( f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = 0 \). Отсюда следует, что \( c = 0 \).
2. Уравнение теперь выглядит так: \( f(x) = ax^2 + bx \).
3. Через точку \( (2, 0) \): \( f(2) = a(2)^2 + b(2) = 0 \) → \( 4a + 2b = 0 \).
4. Через вершину \( (1, -1) \). Для параболы \( y = ax^2 + bx + c \) абсцисса вершины находится по формуле \( x_v = -\frac{b}{2a} \). У нас \( x_v = 1 \), значит \( -\frac{b}{2a} = 1 \) → \( -b = 2a \) → \( b = -2a \).
5. Подставим \( b = -2a \) в уравнение \( 4a + 2b = 0 \): \( 4a + 2(-2a) = 0 \) → \( 4a - 4a = 0 \). Это равенство верно, но не даёт нам значения \( a \).
6. Вернемся к точке вершины \( (1, -1) \) и подставим её в уравнение \( f(x) = ax^2 + bx \) (так как \( c = 0 \) и \( b = -2a \)): \( f(1) = a(1)^2 + (-2a)(1) = -1 \) → \( a - 2a = -1 \) → \( -a = -1 \) → \( a = 1 \).
7. Теперь найдём \( b \): \( b = -2a = -2(1) = -2 \).
8. Итак, функция имеет вид: \( f(x) = 1x^2 - 2x + 0 \) → \( f(x) = x^2 - 2x \).
9. Теперь найдём значение \( f(-2) \): \( f(-2) = (-2)^2 - 2(-2) = 4 + 4 = 8 \).

Ответ: 8