На рисунке изображён график y = f'(x) – производной функции f(x), определённой на интервале (–6; 6). В какой точке отрезка [1; 5] функция f(x) принимает наибольшее значение, если f(1)>f(5)?

Решение:

Нам дан график производной \( f'(x) \). Функция \( f(x) \) будет принимать наибольшее значение на отрезке \( [1; 5] \) в той точке, где \( f'(x) \) меняет знак с плюса на минус. Это точка локального максимума функции \( f(x) \).

Рассмотрим график \( f'(x) \) на отрезке \( [1; 5] \).

• На интервале \( (1; 4) \) график \( f'(x) \) находится выше оси Ox, следовательно, \( f'(x) > 0 \). Это означает, что функция \( f(x) \) возрастает на этом интервале.
• На интервале \( (4; 5) \) график \( f'(x) \) находится ниже оси Ox, следовательно, \( f'(x) < 0 \). Это означает, что функция \( f(x) \) убывает на этом интервале.

Точка \( x=4 \) является точкой локального максимума функции \( f(x) \), так как производная меняет знак с плюса на минус. На отрезке \( [1; 5] \), функция \( f(x) \) возрастает до \( x=4 \) и убывает после \( x=4 \).

Следовательно, наибольшее значение функции \( f(x) \) на отрезке \( [1; 5] \) достигается в точке \( x=4 \), при условии, что \( f(1) \) не превышает \( f(4) \), а \( f(5) \) меньше \( f(4) \). Условие \( f(1)>f(5) \) подтверждает, что максимум не в точке \( x=1 \).

Также, мы знаем, что наибольшее значение на замкнутом отрезке достигается либо в точке экстремума, либо на концах отрезка. В данном случае, точка экстремума — \( x=4 \). Сравниваем значения \( f(1) \), \( f(4) \) и \( f(5) \). Поскольку \( f(x) \) возрастает до \( x=4 \) и убывает после, \( f(4) \) будет наибольшим значением. Условие \( f(1) > f(5) \) означает, что значение на левом конце отрезка выше, чем на правом, но \( f(4) \) будет выше обоих, так как это точка максимума.

Ответ: 4