Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
На рисунке изображён график дифференцируемой функции у = f (x). На оси абсцисс отмечено двенадцать точек. Определите знак производной для каждого случая. f (x) < 0 f (x) = 0 f (x) > 0
Ответ:
Привет! Давай разберемся с производной функции по графику.
Краткое пояснение: Знак производной определяется тем, возрастает или убывает функция в данной точке. Если функция возрастает, то производная положительная; если убывает – отрицательная; если функция достигает максимума или минимума, то производная равна нулю.
Решение:
Чтобы определить знак производной функции, нужно посмотреть на поведение графика в окрестности каждой точки:
- f'(x) < 0 (производная отрицательна): Функция убывает. На графике это происходит на следующих интервалах: (x₁, x₂), (x₃, x₄), (x₁₀, x₁₂). Значит, производная отрицательна в точках: x₁, x₃, x₁₁.
- f'(x) = 0 (производная равна нулю): Функция не возрастает и не убывает, то есть находится в точке локального максимума или минимума. Это точки: x₂, x₄, x₅, x₈, x₁₀, x₁₂.
- f'(x) > 0 (производная положительна): Функция возрастает. На графике это происходит на следующих интервалах: (x₂, x₃), (x₄, x₉). Значит, производная положительна в точках: x₆, x₇, x₉.
Ответ:
- f'(x) < 0: x₁, x₃, x₁₁
- f'(x) = 0: x₂, x₄, x₅, x₈, x₁₀, x₁₂
- f'(x) > 0: x₆, x₇, x₉
Проверка за 10 секунд: Посмотри на наклон графика в каждой точке. Если график идет вверх, производная положительная, если вниз — отрицательная, а если горизонтально — равна нулю.
Доп. профит: Читерский прием: В точках экстремума (максимума или минимума) производная всегда равна нулю. Это помогает быстро определить некоторые точки.
