На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы которого прямые. а) Найдите площадь поверхности данного многогранника (12 баллов).

Решение:

Многогранник можно представить как сумму двух прямоугольных параллелепипедов или как один большой параллелепипед, из которого вычли часть.

Вариант 1: Разложение на два параллелепипеда.

Вертикальная часть: длина = 5, ширина = 5, высота = 7. Площадь поверхности = \( 2 \cdot (5 \cdot 5 + 5 \cdot 7 + 5 \cdot 7) = 2 \cdot (25 + 35 + 35) = 2 \cdot 95 = 190 \).

Горизонтальная часть (нижняя): длина = 5, ширина = 5, высота = 4. Площадь поверхности = \( 2 \cdot (5 \cdot 5 + 5 \cdot 4 + 5 \cdot 4) = 2 \cdot (25 + 20 + 20) = 2 \cdot 65 = 130 \).

Общая площадь поверхности = площадь боковых граней вертикальной части + площадь боковых граней горизонтальной части + площадь верхнего основания вертикальной части + площадь верхнего основания горизонтальной части + площадь нижней грани. Учитывая, что они соединены, нам нужно сложить площади всех видимых внешних граней.

Сделаем иначе: разложим на три части.

1. Большой вертикальный параллелепипед: 5x5x7. Площадь поверхности = \( 2 \cdot (5 \cdot 5 + 5 \cdot 7 + 5 \cdot 7) = 190 \).

2. Выступающая горизонтальная часть: 5x5x4. Площадь поверхности = \( 2 \cdot (5 \cdot 5 + 5 \cdot 4 + 5 \cdot 4) = 130 \).

Теперь нужно скорректировать площадь, так как части соединены.

Вариант 2: Разбиение на грани.

Передняя грань: \( 5 \cdot 7 + 5 \cdot 4 = 35 + 20 = 55 \)

Задняя грань: \( 5 \cdot 7 + 5 \cdot 4 = 35 + 20 = 55 \)

Левая грань: \( 5 \cdot 7 = 35 \)

Правая грань (верхняя часть): \( 5 \cdot 7 = 35 \)

Правая грань (нижняя часть): \( 5 \cdot 4 = 20 \)

Верхняя грань: \( 5 \cdot 5 + 5 \cdot 5 = 25 + 25 = 50 \)

Нижняя грань: \( 5 \cdot 5 + 5 \cdot 5 = 25 + 25 = 50 \)

Суммируем: \( 55 + 55 + 35 + 35 + 20 + 50 + 50 = 300 \)

Проверка:

Площадь поверхности можно найти, представив его как большой параллелепипед (5x5x7) и добавив к нему выступающую часть (5x5x4). Однако, при таком рассмотрении, часть поверхности будет перекрываться.

Сделаем проще: представим, что это большой параллелепипед 5x5x(7+4) = 5x5x11, из которого вырезана часть 5x5x4.

Площадь большого параллелепипеда: \( 2 \cdot (5 \cdot 5 + 5 \cdot 11 + 5 \cdot 11) = 2 \cdot (25 + 55 + 55) = 2 \cdot 135 = 270 \). Это неверно.

Наиболее простой способ:

Разделим фигуру на два параллелепипеда:

1. Вертикальный: 5x5x7. Площадь видимых внешних граней = \( 5 \cdot 7 \) (передняя) + \( 5 \cdot 7 \) (задняя) + \( 5 \cdot 5 \) (левая) + \( 5 \cdot 5 \) (верхняя) + \( 5 \cdot 5 \) (нижняя) + \( 5 \cdot 5 \) (видимая правая часть) = \( 35 + 35 + 25 + 25 + 25 + 25 = 170 \)

2. Горизонтальный: 5x5x4. Площадь видимых внешних граней = \( 5 \cdot 4 \) (передняя) + \( 5 \cdot 4 \) (задняя) + \( 5 \cdot 5 \) (правая) + \( 5 \cdot 5 \) (верхняя) + \( 5 \cdot 5 \) (нижняя) = \( 20 + 20 + 25 + 25 + 25 = 115 \)

Это не совсем правильно, так как части соединяются.

Правильный подход:

Разложим на три части:

1. Нижний параллелепипед: 5x5x4. Его площадь поверхности = \( 2(5 \cdot 5) + 2(5 \cdot 4) + 2(5 \cdot 4) = 50 + 40 + 40 = 130 \).

2. Верхний вертикальный параллелепипед: 5x5x7. Его площадь поверхности = \( 2(5 \cdot 5) + 2(5 \cdot 7) + 2(5 \cdot 7) = 50 + 70 + 70 = 190 \).

3. Верхний горизонтальный параллелепипед: 5x5x4. Его площадь поверхности = \( 2(5 \cdot 5) + 2(5 \cdot 4) + 2(5 \cdot 4) = 50 + 40 + 40 = 130 \).

Теперь нужно учесть, что части соединены.

Самый надёжный способ: Считать площади всех граней.

1. Две грани размером \( 5 \times 7 \) = \( 2 \times 35 = 70 \)

2. Две грани размером \( 5 \times 4 \) = \( 2 \times 20 = 40 \)

3. Две грани размером \( 5 \times 5 \) (дно и верх вертикальной части) = \( 2 \times 25 = 50 \)

4. Две грани размером \( 5 \times 5 \) (дно и верх выступающей части) = \( 2 \times 25 = 50 \)

5. Одна грань размером \( 5 \times (7-4) = 5 \times 3 = 15 \)

6. Одна грань размером \( 5 \times (7-4) = 5 \times 3 = 15 \)

7. Одна грань размером \( 5 \times 5 \) (задняя часть выступа) = \( 25 \)

8. Одна грань размером \( 5 \times 4 \) (боковая часть выступа) = \( 20 \)

9. Одна грань размером \( 5 \times 4 \) (боковая часть выступа) = \( 20 \)

Давайте мыслить иначе:

Представим, что это большой параллелепипед 5x5x7, из которого вырезана часть 5x5x4. Но это не так.

Разобьём на части:

1. Вертикальная часть (без выступа): размеры 5x5x7. Площадь боковых граней = \( 4 \times (5 \times 7) = 140 \). Площадь верхнего и нижнего основания = \( 2 \times (5 \times 5) = 50 \). Всего = \( 190 \).

2. Выступающая горизонтальная часть: размеры 5x5x4. Площадь боковых граней = \( 3 \times (5 \times 4) + 1 \times (5 \times 5) = 60 + 25 = 85 \). Площадь верхнего и нижнего основания = \( 2 \times (5 \times 5) = 50 \). Всего = \( 135 \).

Надёжный способ:

Вся поверхность состоит из:

1. Три грани большого основания: \( 5 \times 7 \) (передняя), \( 5 \times 7 \) (задняя), \( 5 \times 5 \) (левая) = \( 35 + 35 + 25 = 95 \).

2. Три грани выступающего основания: \( 5 \times 4 \) (передняя), \( 5 \times 4 \) (задняя), \( 5 \times 5 \) (правая) = \( 20 + 20 + 25 = 65 \).

3. Верхняя поверхность: \( 5 \times 5 \) (верх вертикальной части) + \( 5 \times 5 \) (верх выступающей части) = \( 25 + 25 = 50 \).

4. Нижняя поверхность: \( 5 \times 5 \) (низ вертикальной части) + \( 5 \times 5 \) (низ выступающей части) = \( 25 + 25 = 50 \).

Итого: \( 95 + 65 + 50 + 50 = 260 \)

Давайте проверим по частям:

Вертикальный столб:

Передняя грань: \( 5 \times 7 = 35 \)

Задняя грань: \( 5 \times 7 = 35 \)

Левая грань: \( 5 \times 7 = 35 \)

Верхняя грань: \( 5 \times 5 = 25 \)

Нижняя грань: \( 5 \times 5 = 25 \)

Горизонтальный выступ:

Передняя грань: \( 5 \times 4 = 20 \)

Задняя грань: \( 5 \times 4 = 20 \)

Правая грань: \( 5 \times 4 = 20 \)

Верхняя грань: \( 5 \times 5 = 25 \)

Нижняя грань: \( 5 \times 5 = 25 \)

Соединяем:

Площадь поверхности = (площадь передних граней) + (площадь задних граней) + (площадь боковых граней) + (площадь верхних граней) + (площадь нижних граней).

Площадь поверхности = 2 * (площадь передней грани) + 2 * (площадь задней грани) + (площадь боковых граней) + 2 * (площадь верхних граней) + 2 * (площадь нижних граней).

Площадь всей фигуры:

1. Передняя часть: \( 5 \times 7 \) + \( 5 \times 4 \) = \( 35 + 20 = 55 \)

2. Задняя часть: \( 5 \times 7 \) + \( 5 \times 4 \) = \( 35 + 20 = 55 \)

3. Левая часть: \( 5 \times 7 \) = \( 35 \)

4. Правая часть (верхняя): \( 5 \times 7 \) = \( 35 \)

5. Правая часть (нижняя): \( 5 \times 4 \) = \( 20 \)

6. Верхняя часть: \( 5 \times 5 \) + \( 5 \times 5 \) = \( 25 + 25 = 50 \)

7. Нижняя часть: \( 5 \times 5 \) + \( 5 \times 5 \) = \( 25 + 25 = 50 \)

Общая площадь = \( 55 + 55 + 35 + 35 + 20 + 50 + 50 = 300 \)

Ответ: Площадь поверхности равна 300.