На рисунке изображён прямоугольник ABCD. Точки K, L, M,N – середины его сторон. Найди вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать треугольнику LMN.

Пусть стороны прямоугольника равны a и b. Тогда площадь прямоугольника равна $$S_{ABCD} = a \cdot b$$.

Т.к. точки K, L, M, N - середины сторон, то $$AL = LB = \frac{1}{2}a$$, $$BM = MC = \frac{1}{2}b$$, $$CN = ND = \frac{1}{2}a$$, $$AK = KD = \frac{1}{2}b$$

Площадь треугольника LMN: $$S_{LMN} = S_{ABCD} - S_{ALB} - S_{MNC} - S_{KDN} = a \cdot b - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}a \cdot \frac{1}{2}b - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}a \cdot \frac{1}{2}b - \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{1}{2}b = ab - \frac{1}{8}ab - \frac{1}{8}ab - \frac{1}{4}ab = ab(1 - \frac{1}{8} - \frac{1}{8} - \frac{1}{4}) = ab(1 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}ab$$

Вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать треугольнику LMN, равна отношению площади треугольника LMN к площади прямоугольника ABCD:

$$P(LMN) = \frac{S_{LMN}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{1}{2}ab}{ab} = \frac{1}{8} = 0.125$$

Ответ: 0.125