На рисунке изображён ромб PQRS. ∠ STR = 96° и ∠ PRT = 18°. а) Найдите ∠ SPR. b) Найдите ∠ PQR.

Краткое пояснение:

Для решения задачи используем свойства ромба: диагонали пересекаются под прямым углом и делят углы ромба пополам. Также сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим ∠ PST.
   Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, поэтому ∠ PST = 90°.
2. Шаг 2: Находим ∠ SPR.
   В ромбе диагонали являются биссектрисами углов. В треугольнике PST: ∠ PTS = 180° - ∠ STR = 180° - 96° = 84°.
   ∠ TPS = 180° - ∠ PST - ∠ PTS = 180° - 90° - 84° = 6°.
   Так как диагональ PR делит угол SPR пополам, то ∠ SPR = 2 * ∠ TPS = 2 * 6° = 12°.
3. Шаг 3: Находим ∠ PQR.
   Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна 180°. Следовательно, ∠ PQR + ∠ QRS = 180°.
   В ромбе противоположные углы равны: ∠ PQR = ∠ PSR и ∠ SPQ = ∠ SRQ.
   Угол ∠ STR = 96° дан в условии. В треугольнике STR: ∠ TSR = 180° - ∠ STR = 180° - 96° = 84°.
   Угол ∠ SRT = 180° - 90° - 84° = 6°.
4. Шаг 4: Находим ∠ PQR.
   ∠ PQR = 180° - ∠ SPQ. Угол ∠ SPQ = ∠ SPR + ∠ RPQ. Нам известно, что ∠ SPR = 12°. Диагональ PR делит угол QRS пополам, поэтому ∠ QRP = ∠ SRP = 6°. Тогда ∠ SRQ = 2 * 6° = 12°.
   ∠ SPQ = 180° - ∠ SRQ = 180° - 12° = 168°.
   ∠ PQR = 180° - 168° = 12°.
5. Альтернативный расчет ∠ PQR:
   ∠ QRS = ∠ QRP + ∠ PRS. Диагонали пересекаются под прямым углом, так что ∠ PRQ = 90°.
   ∠ QRS = 180° - ∠ SPQ.
   ∠ SPQ = 2 * ∠ TPS = 2 * 6° = 12° (из шага 2).
   ∠ PQR = 180° - ∠ SPQ = 180° - 12° = 168°.
   ∠ PQR = 180° - ∠ PSR.
   ∠ PSR = ∠ PST + ∠ TSR = 90° + 84° = 174°.
   ∠ PQR = 180° - 174° = 6°.
6. Пересчет ∠ SPR:
   В треугольнике STR, ∠ RTS = 180° - 96° = 84°.
   ∠ SRT = 180° - 90° - 84° = 6°.
   ∠ PRT = 18°.
   ∠ PRS = ∠ PRT + ∠ SRT = 18° + 6° = 24°.
   Так как диагонали делят углы пополам, ∠ QRS = 2 * ∠ PRS = 2 * 24° = 48°.
   ∠ SPR = ∠ QRS = 48° (противоположные углы ромба равны).
7. Пересчет ∠ PQR:
   ∠ SPQ + ∠ PQR = 180°.
   ∠ SPQ = 180° - ∠ QRS = 180° - 48° = 132°.
   ∠ PQR = 180° - ∠ SPQ = 180° - 132° = 48°.
8. Итоговая проверка:
   ∠ SPR = 48° (диагональ делит его пополам, значит, ∠ SPR/2 = 24°).
   ∠ QRS = 48°.
   ∠ PQR = 132°.
   ∠ SPQ = 132°.
   Сумма углов = 48° + 48° + 132° + 132° = 360°.
9. Уточнение расчета ∠ SPR:
   В треугольнике PST, ∠ PST = 90°. ∠ PTS = 180° - ∠ STR = 180° - 96° = 84°.
   ∠ TPS = 180° - 90° - 84° = 6°.
   ∠ SPR = 2 * ∠ TPS = 2 * 6° = 12°.
10. Уточнение расчета ∠ PQR:
    ∠ SRT = 180° - 90° - 84° = 6°.
    ∠ PRT = 18°.
    ∠ QRT = ∠ SRT + ∠ PRT = 6° + 18° = 24°.
    ∠ QRS = 2 * ∠ QRT = 2 * 24° = 48°.
    ∠ PQR = 180° - ∠ QRS = 180° - 48° = 132°.

Ответ: а) ∠ SPR = 12°; b) ∠ PQR = 132°