На рисунке изображён тонкий невесомый стержень, к которому приложены силы F₁ = 100 Н и F₂ = 300 Н. Через какую точку должна проходить ось вращения, чтобы стержень находился в равновесии?

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Запишем условие равновесия моментов сил: \( M_1 = M_2 \), что означает \( F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2 \), где \( d_1 \) и \( d_2 \) — плечи сил.
2. Шаг 2: Определим плечо силы \( F_1 \). Сила \( F_1 \) направлена вниз. Пусть ось вращения находится на расстоянии \( x \) от точки 1. Тогда \( d_1 = x \).
3. Шаг 3: Определим плечо силы \( F_2 \). Сила \( F_2 \) направлена вверх. Точка приложения силы \( F_2 \) — точка 3. Расстояние от оси вращения до точки 3 будет \( d_2 = |3 - x| \).
4. Шаг 4: Подставим значения в уравнение моментов: \( 100 \text{ Н} \cdot x = 300 \text{ Н} \cdot |3 - x| \).
5. Шаг 5: Решим уравнение. Рассмотрим два случая для \( |3 - x| \).
6. Случай 1: \( 3 - x > 0 \), то есть \( x < 3 \). Тогда \( 100x = 300(3 - x) \). \( 100x = 900 - 300x \). \( 400x = 900 \). \( x = 900 / 400 = 9 / 4 = 2.25 \). Это значение удовлетворяет условию \( x < 3 \).
7. Случай 2: \( 3 - x < 0 \), то есть \( x > 3 \). Тогда \( 100x = -300(3 - x) \). \( 100x = -900 + 300x \). \( -200x = -900 \). \( x = 900 / 200 = 9 / 2 = 4.5 \). Это значение не удовлетворяет условию \( x > 3 \).
8. Шаг 6: Таким образом, ось вращения должна проходить через точку, находящуюся на расстоянии 2.25 единиц от точки 1.
9. Шаг 7: Посмотрим на рисунок: точка 1 находится на отметке 1, точка 3 — на отметке 3. Значит, расстояние между 1 и 3 равно 2 единицам. Нам нужно найти точку \( x \) такую, что \( 100 \cdot (x-1) = 300 \cdot (3-x) \) (если ось между 1 и 3). \( 100x - 100 = 900 - 300x \). \( 400x = 1000 \). \( x = 1000 / 400 = 2.5 \).
10. Шаг 8: Уточнение по рисунку: точки пронумерованы от 1 до 6. Предполагается, что единичные отрезки одинаковы. Если ось вращения находится между точками 1 и 3, то плечо F₁ будет \( x-1 \) и плечо F₂ будет \( 3-x \) (где x - номер точки).
11. Шаг 9: \( 100 \cdot (x-1) = 300 \cdot (3-x) \)
12. Шаг 10: \( 100x - 100 = 900 - 300x \)
13. Шаг 11: \( 400x = 1000 \)
14. Шаг 12: \( x = 2.5 \).
15. Шаг 13: Поскольку такой точки нет, предположим, что F₁ приложена к точке 1, а F₂ к точке 3. Тогда ось вращения должна находиться на отрезке между 1 и 3.
16. Шаг 14: \( 100 \cdot d_1 = 300 \cdot d_2 \), где \( d_1 + d_2 = 3 - 1 = 2 \) (расстояние между точками 1 и 3). \( d_1 = 2 - d_2 \).
17. Шаг 15: \( 100 \cdot (2 - d_2) = 300 \cdot d_2 \)
18. Шаг 16: \( 200 - 100d_2 = 300d_2 \)
19. Шаг 17: \( 200 = 400d_2 \)
20. Шаг 18: \( d_2 = 200 / 400 = 0.5 \).
21. Шаг 19: \( d_1 = 2 - 0.5 = 1.5 \).
22. Шаг 20: Ось вращения должна находиться на расстоянии 1.5 единиц от точки 1 в сторону точки 3, или на расстоянии 0.5 единиц от точки 3 в сторону точки 1.
23. Шаг 21: На числовой оси это будет точка \( 1 + 1.5 = 2.5 \) или \( 3 - 0.5 = 2.5 \).
24. Шаг 22: Если принять, что точки 1, 2, 3, 4, 5, 6 находятся на равном расстоянии, то ось вращения должна проходить между точками 2 и 3, ближе к точке 3.
25. Шаг 23: Более точный ответ: ось вращения должна проходить через точку, расположенную на расстоянии 2.5 от начала отсчета (точки 1), если принять, что точки 1, 2, 3, 4, 5, 6 расположены на равном расстоянии и образуют единичную шкалу.
26. Шаг 24: Если точки 1, 2, 3, 4, 5, 6 - это целочисленные отметки, то ось вращения должна проходить через точку, находящуюся между 2 и 3.
27. Шаг 25: Учитывая, что F₂ в 3 раза больше F₁, плечо силы F₁ должно быть в 3 раза больше плеча силы F₂.
28. Шаг 26: Пусть ось вращения находится в точке \( x \). Тогда \( |x-1| \) - плечо \( F_1 \), \( |3-x| \) - плечо \( F_2 \). \( 100 \cdot |x-1| = 300 \cdot |3-x| \).
29. Шаг 27: \( |x-1| = 3|3-x| \).
30. Шаг 28: Если \( 1 < x < 3 \), то \( x-1 = 3(3-x) \). \( x-1 = 9-3x \). \( 4x = 10 \). \( x = 2.5 \).

Ответ: Ось вращения должна проходить через точку, находящуюся между отметками 2 и 3, на расстоянии 2.5 от начала отсчета (если отсчет ведется от точки 1).