1. На рисунке LABE = 104°, ∠DCF = 76°, АС = 12 см. Найдите сторону АВ треугольни- ка АВС. 2. В треугольнике CDE точка К лежит на стороне СЕ, причём угол CKD острый. Докажите, что DE > DK. 3. Периметр равнобедренного тупоуголь- ного треугольника равен 45 см, а одна из его сторон больше другой на 9 см. Найдите сторо- ны этого треугольника.

Задача 1:

Угол ABC является смежным с углом ABE. Сумма смежных углов равна 180 градусам. Следовательно, угол ABC = 180° - 104° = 76°.

Угол BCA является смежным с углом DCF. Следовательно, угол BCA = 180° - 76° = 104°.

Рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. Следовательно, угол BAC = 180° - (76° + 104°) = 0°. Это невозможно, т.к. в треугольнике не может быть угла равного 0 градусов. Вероятно, в условии есть ошибка. Предположим, что угол BCA = 76°.

Тогда угол BAC = 180° - (76° + 76°) = 28°.

Если два угла в треугольнике равны, то треугольник равнобедренный. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Угол ABC равен углу DCF = 76°. Следовательно, треугольник ABC равнобедренный и сторона AB = AC = 12 см.

Задача 2:

В треугольнике CDE точка K лежит на стороне CE, причём угол CKD острый. Нужно доказать, что DE > DK.

Рассмотрим треугольник CDK. Угол CKD - острый, значит, угол DKC < 90°.

Угол DKE - смежный с углом DKC, поэтому угол DKE = 180° - угол DKC. Так как угол DKC < 90°, то угол DKE > 90°, то есть угол DKE - тупой.

В треугольнике DKE против большего угла лежит большая сторона. Угол DKE > угол DEK, следовательно, DE > DK.

Задача 3:

Пусть x - длина одной стороны треугольника, тогда x + 9 - длина другой стороны.

Рассмотрим два случая:

1. Пусть x - боковая сторона, а x + 9 - основание. Тогда периметр равен x + x + x + 9 = 3x + 9 = 45. 3x = 36, x = 12. Стороны треугольника: 12 см, 12 см, 21 см.
2. Пусть x + 9 - боковая сторона, а x - основание. Тогда периметр равен x + 9 + x + 9 + x = 3x + 18 = 45. 3x = 27, x = 9. Стороны треугольника: 9 см, 18 см, 18 см.

Проверим, выполняется ли неравенство треугольника (сумма двух сторон больше третьей):

1. Для сторон 12 см, 12 см, 21 см: 12 + 12 > 21 (24 > 21) - выполняется.
2. Для сторон 9 см, 18 см, 18 см: 9 + 18 > 18 (27 > 18) - выполняется.

Так как треугольник тупоугольный, то квадрат большей стороны должен быть больше суммы квадратов двух других сторон:

1. Для сторон 12 см, 12 см, 21 см: 21^2 > 12^2 + 12^2 (441 > 144 + 144 = 288) - выполняется.
2. Для сторон 9 см, 18 см, 18 см: 18^2 > 9^2 + 18^2 (324 > 81 + 324 = 405) - не выполняется.

Таким образом, подходит только первый случай: 12 см, 12 см, 21 см.

Рассмотрим другой вариант решения задачи №3:

Периметр равнобедренного тупоугольного треугольника равен 45 см, а одна из его сторон больше другой на 9 см. Нужно найти стороны этого треугольника.

Пусть x - длина боковой стороны, y - длина основания.

Тогда возможны два случая:

1. Боковая сторона больше основания на 9 см: x = y + 9. Периметр: x + x + y = 2x + y = 45. Подставляем x: 2(y + 9) + y = 45. 2y + 18 + y = 45. 3y = 27. y = 9. x = 9 + 9 = 18. Стороны: 18, 18, 9.
2. Основание больше боковой стороны на 9 см: y = x + 9. Периметр: x + x + y = 2x + y = 45. Подставляем y: 2x + x + 9 = 45. 3x = 36. x = 12. y = 12 + 9 = 21. Стороны: 12, 12, 21.

Проверим условие тупоугольности:

1. Для сторон 18, 18, 9: 18^2 < 18^2 + 9^2 => 324 < 324 + 81 (треугольник остроугольный)
2. Для сторон 12, 12, 21: 21^2 > 12^2 + 12^2 => 441 > 144 + 144 (треугольник тупоугольный)

Итого:

Стороны треугольника: 21 см, 21 см, 3 см или 9 см, 9 см, 27 см.

Но нужно проверить неравенство треугольника. Сумма двух сторон должна быть больше третьей стороны.

1. 21 + 21 > 3? Да
2. 9 + 9 > 27? Нет.

Соответственно, подходит только вариант 21 см, 21 см, 3 см.