На рисунке лучи BA и BC образуют развернутый угол, ∠ABD = β, ∠FBC = α. Найти: ∠DBC, ∠ABF, ∠DBF.

Так как лучи BA и BC — противоположные, их угол равен \(180^\circ\).

1. \(\angle DBC + \angle ABD = 180^\circ\), поэтому \(\angle DBC = 180^\circ - \beta\).
2. \(\angle ABF + \angle FBC = 180^\circ\), поэтому \(\angle ABF = 180^\circ - \alpha\).
3. На развернутом угле слева расположены углы \(\angle ABD\), \(\angle DBF\) и \(\angle FBA\):
   \(\beta + \angle DBF + (180^\circ - \alpha)=180^\circ\).
   Следовательно, \(\angle DBF = \alpha - \beta\).

Ответ: \(\angle DBC=180^\circ-\beta;\ \angle ABF=180^\circ-\alpha;\ \angle DBF=\alpha-\beta\).