На рисунке MN || AC. а) Докажите, что AB · BN = CB · BM. б) Найдите MN, если АМ = 6 см, ВМ = 8 см, АС = 21 см.

Решение:

а) Рассмотрим \(\triangle ABC\). Так как \(MN \parallel AC\), то \(\triangle MBN \sim \triangle ABC\) (по двум углам, так как \(\angle B\) общий, а \(\angle BMN = \angle BAC\) как соответственные углы при параллельных прямых и секущей).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: \[\frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC}.\]

Перекрестно перемножим, чтобы получить требуемое равенство: \[BM \cdot BC = BA \cdot BN,\] что можно переписать как \[AB \cdot BN = CB \cdot BM.\]

б) Найдем MN. Из подобия \(\triangle MBN \sim \triangle ABC\) следует: \[\frac{MN}{AC} = \frac{BM}{BA}.\] Нам дано \(AM = 6\) см и \(BM = 8\) см, поэтому \(BA = BM + AM = 8 + 6 = 14\) см. Также дано \(AC = 21\) см. Подставим эти значения в пропорцию:

\[\frac{MN}{21} = \frac{8}{14}.\]

Выразим MN: \[MN = \frac{8 \cdot 21}{14} = \frac{8 \cdot 3}{2} = 4 \cdot 3 = 12 \text{ см}.\]

Ответ: MN = 12 см

Ты молодец! Продолжай решать задачи, и ты достигнешь больших успехов в математике!