На рисунке MN = PQ, MQ = PN. Докажите, что MQ II PN, MN II PQ. Докажите, что угол 1 равен углу 2, а угол 3 равен углу 4.

Доказательство:

1. Рассмотрим четырехугольник MNPQ, у которого MN = PQ и MQ = PN.
2. Проведем диагональ MP.
3. Рассмотрим треугольники MNP и QPM. У них:
• MN = PQ (по условию),
• MQ = PN (по условию),
• MP - общая сторона.
4. Следовательно, треугольники MNP и QPM равны по трем сторонам (III признак равенства треугольников).
5. Из равенства треугольников следует равенство углов:
• ∠1 = ∠2 (как соответственные углы при прямых MQ и PN и секущей MP),
• ∠3 = ∠4 (как соответственные углы при прямых MN и PQ и секущей MP).
6. Из равенства углов ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4 следует:
• MQ || PN (если соответственные углы равны, то прямые параллельны),
• MN || PQ (если соответственные углы равны, то прямые параллельны).
7. Утверждение доказано.

Доказательство равенства углов 1 и 2, 3 и 4:

1. Треугольники MNP и QPM равны по трем сторонам (доказано выше).
2. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:
• ∠1 = ∠2 (как соответственные углы),
• ∠3 = ∠4 (как соответственные углы).
3. Утверждение доказано.

Ответ: Углы 1 и 2 равны, углы 3 и 4 равны, MQ II PN, MN II PQ.