На рисунке О — центр окружности, ∠C = 55°. Найдите ∠OAD.

Решение:

Вписанный угол \( \angle C \) равен 55°. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу (дугу AD), равен удвоенному вписанному углу. Однако, \( \angle C \) не опирается на дугу AD. Угол \( \angle CBD \) (если бы точка B была на окружности) опирался бы на дугу AD.

Рассмотрим угол \( \angle AOC \), который является центральным углом, опирающимся на дугу AC. Вписанный угол, опирающийся на дугу AC, равен \( \angle ABC \) (если бы B была на окружности).

Угол \( \angle C = 55^{\circ} \) является вписанным углом. Очевидно, что он опирается на дугу AD. Следовательно, центральный угол, опирающийся на ту же дугу AD, равен \( 2 \times \angle C \). Однако, \( \angle C \) не является вписанным углом, опирающимся на дугу AD.

По условию, \( \angle C = 55^{\circ} \). Этот угол является вписанным и опирается на дугу AD. Значит, центральный угол, опирающийся на ту же дугу AD, равен \( 2 \times 55^{\circ} = 110^{\circ} \). Этот центральный угол — \( \angle AOD \).

В треугольнике \( \triangle OAD \), \( OA \) и \( OD \) — радиусы окружности, поэтому \( OA = OD \). Треугольник \( \triangle OAD \) — равнобедренный.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \angle OAD = \angle ODA \).

Сумма углов в \( \triangle OAD \) равна 180°.

\( \angle OAD + \angle ODA + \angle AOD = 180^{\circ} \)

\( 2 \times \angle OAD + 110^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( 2 \times \angle OAD = 180^{\circ} - 110^{\circ} \)

\( 2 \times \angle OAD = 70^{\circ} \)

\( \angle OAD = \frac{70^{\circ}}{2} = 35^{\circ} \)

Ответ: 35