На рисунке обозначены два равных отрезка и два равных угла. Дополните доказательство равенства углов DAC и DCA.

Решение:

Чтобы доказать равенство углов $$\angle DAC$$ и $$\angle DCA$$, нам нужно показать, что треугольник $$ADC$$ является равнобедренным. В условии задачи сказано, что на рисунке обозначены два равных отрезка и два равных угла.

Из рисунка видно, что:

1. Отрезки $$AB$$ и $$BC$$ равны (обозначены одинаковыми черточками).
2. Углы $$\angle ABD$$ и $$\angle CBD$$ равны (обозначены одинаковыми дугами).
3. Отрезок $$BD$$ является общей стороной для треугольников $$\triangle ABD$$ и $$\triangle CBD$$.

Исходя из этого, мы можем применить признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (СУС).

• Сторона $$AB =$$ сторона $$BC$$ (по условию).
• Угол $$\angle ABD =$$ угол $$\angle CBD$$ (по условию).
• Сторона $$BD =$$ сторона $$BD$$ (общая сторона).

Следовательно, $$\triangle ABD = \triangle CBD$$ по признаку СУС.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов и сторон. Значит:

• Угол $$\angle BAD =$$ угол $$\angle BCD$$ (как соответствующие углы в равных треугольниках).
• Сторона $$AD =$$ сторона $$CD$$ (как соответствующие стороны в равных треугольниках).

Теперь рассмотрим треугольник $$ADC$$. Поскольку $$AD = CD$$, то треугольник $$ADC$$ является равнобедренным.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Основанием в треугольнике $$ADC$$ является сторона $$AC$$, а углами при основании — $$\angle DAC$$ и $$\angle DCA$$.

Таким образом, $$\angle DAC = \angle DCA$$.

Доказано.