6. На рисунке ОТ || АС, ТР - биссектриса ∠OTC, СК - биссектриса ∠BCF. Докажите, что ∠РТС = ∠TCK.

Дано:

• OT || AC
• TP – биссектриса ∠OTC
• CK – биссектриса ∠BCF

Доказать: ∠PTC = ∠TCK

Доказательство:

1. Так как OT || AC, то ∠OTC = ∠ACT как накрест лежащие углы.

2. TP – биссектриса ∠OTC, следовательно, ∠OTP = ∠PTC = 1/2 * ∠OTC.

3. CK – биссектриса ∠BCF, следовательно, ∠BCK = ∠KCF = 1/2 * ∠BCF.

4. ∠BCF и ∠ACT – смежные углы, значит, ∠BCF + ∠ACT = 180°.

5. Тогда 1/2 * ∠BCF + 1/2 * ∠ACT = 90°.

6. Рассмотрим треугольник TPC. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому ∠PTC + ∠TPC + ∠TCP = 180°.

7. ∠TPC и ∠BCK – соответственные углы при параллельных прямых OT и AC, следовательно, ∠TPC = ∠BCK = 1/2 * ∠BCF.

8. ∠TCP = ∠ACT.

9. Таким образом, ∠PTC + 1/2 * ∠BCF + ∠ACT = 180°.

10. Заменим 1/2 * ∠BCF + ∠ACT на 90° (из пункта 5): ∠PTC + 90° = 180°.

11. Следовательно, ∠PTC = 90°.

12. Аналогично, ∠TCK = 1/2 * ∠BCF = 90°.

13. Таким образом, ∠PTC = ∠TCK.