На рисунке отрезок МР параллелен стороне СЕ, луч К - биссектриса угла ВМР. Найдите угол ВКМ.

Решение:

Дано: MP || CE, CK — биссектриса \(\angle BMP \). Найти: \(\angle BKM \).

Из рисунка видно, что \(\angle BMP = 70^{\circ} \).

Так как CK — биссектриса \(\angle BMP \), то она делит угол пополам:

\(\angle BKC = \angle CKP = \frac{\angle BMP}{2} = \frac{70^{\circ}}{2} = 35^{\circ} \).

Угол \(\angle BKC \) и \(\angle CKP \) являются смежными углами с \(\angle BKC \) и \(\angle CKP \) соответственно.

Рассмотрим \(\triangle CKE \). Нам дан \(\angle CEK = 50^{\circ} \).

Так как MP || CE, то \(\angle CKP \) и \(\angle CKE \) являются накрест лежащими углами при параллельных прямых MP и CE и секущей CK. Следовательно, \(\angle CKP = \angle KCE = 35^{\circ} \).

В \(\triangle CKE \) сумма углов равна \( 180^{\circ} \). Значит, \(\angle CKE \) = \( 180^{\circ} - \angle CEK - \angle KCE \) = \( 180^{\circ} - 50^{\circ} - 35^{\circ} = 95^{\circ} \).

Углы \(\angle BKC \) и \(\angle CKE \) являются смежными, поэтому их сумма равна \( 180^{\circ} \).

\(\angle BKM \) — это внешний угол \(\triangle CKE \) при вершине K, но эта линия не проведена.

Рассмотрим \(\angle BKC \) и \(\angle CKE \). Они не являются смежными, так как K лежит на BE.

Угол \(\angle BKC \) является внешним углом \(\triangle CKE \) по отношению к вершине K, но это не так.

Вернёмся к \( \triangle KPE \). \(\angle KPE = 50^{\circ} \).

\( \triangle MPK \) и \(\triangle CEK \) не являются подобными.

Мы знаем, что MP || CE. Луч BK является биссектрисой \(\angle BMP \), значит \(\angle BKM = \angle KMP = 70^{\circ}/2 = 35^{\circ} \).

Углы \(\angle BKM \) и \(\angle KMP \) являются накрест лежащими углами при параллельных прямых MP и BE и секущей MK. Следовательно, \(\angle BKM = \angle KMP = 35^{\circ} \).

Ответ: 35^{\(\circ\)}.