5. На рисунке PN=NT, РК - биссектриса угла МРТ, ∠NPT=70, ∠PKM=55. Докажите, что прямые РТ и МК параллельны. Найдите мрт

Решение:

Давай разберем эту задачу по геометрии вместе! Нам нужно доказать, что прямые PT и MK параллельны, и найти угол MPT.

1. Дано:

   • PN = NT
   • PK - биссектриса угла MPT
   • ∠NPT = 70°
   • ∠PKM = 55°

2. Доказательство параллельности PT и MK:

   Так как PN = NT, треугольник PNT - равнобедренный. Следовательно, углы при основании PN равны:

   \[∠PNM = ∠PTN = (180° - ∠NPT) / 2 = (180° - 70°) / 2 = 110° / 2 = 55°\]

3. Теперь рассмотрим углы ∠PTN и ∠PKM. Они оба равны 55°:

   \[∠PTN = 55°\] \[∠PKM = 55°\]

4. Углы ∠PTN и ∠PKM являются соответственными углами при прямых PT и MK и секущей NK. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, PT || MK.

5. Нахождение угла MPT:

   PK - биссектриса угла MPT, поэтому ∠MPK = ∠PKT. Обозначим ∠MPK как x:

   \[∠MPK = ∠PKT = x\]

6. Тогда угол MPT будет равен:

   \[∠MPT = 2x\]

7. Рассмотрим треугольник MPT. Сумма углов в треугольнике равна 180°:

   \[∠MPT + ∠PTM + ∠TMP = 180°\]

8. Мы знаем, что ∠PTM = ∠PTN = 55°. Также, поскольку PT || MK, то ∠TMP = ∠PKM = 55° (как соответственные углы):

   \[2x + 55° + 55° = 180°\] \[2x = 180° - 110°\] \[2x = 70°\] \[x = 35°\]

9. Следовательно, угол MPT равен:

   \[∠MPT = 2x = 2 \cdot 35° = 70°\]

Ответ: ∠MPT = 70°

Отлично! Ты хорошо справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!