На рисунке показана мозаика из квадратов 1 × 1. Каждый ряд единичных квадратов сдвинут по горизонтали на пол-единицы относительно ряда над ним. Каждая вершина заштрихованной фигуры является вершиной одного из единичных квадратов. Найдите площадь заштрихованной фигуры. Ответ выразите в квадратных единицах.

Анализ задачи

Нам дана мозаика из квадратов со стороной 1. Заштрихованная фигура — это ромб. Чтобы найти его площадь, мы можем использовать формулу площади ромба через диагонали или найти площадь, выделив его на фоне сетки.

Способ 1: Использование сетки

1. Рассмотрим заштрихованную фигуру. Ее вершины находятся на пересечениях линий сетки.
2. Можно увидеть, что заштрихованная фигура вписана в прямоугольник, стороны которого равны 3 единицам (по горизонтали) и 3 единицам (по вертикали). Площадь этого прямоугольника равна \( 3 \times 3 = 9 \) квадратных единиц.
3. Внутри этого прямоугольника есть четыре не заштрихованных треугольника, прилегающих к его сторонам. Каждый из этих треугольников имеет основание 1.5 единицы и высоту 1.5 единицы (половина стороны большого квадрата, так как вершины ромба находятся на серединах сторон большого квадрата).
4. Площадь одного такого треугольника равна \( \frac{1}{2} \times 1.5 \times 1.5 = \frac{1}{2} \times 2.25 = 1.125 \) квадратных единиц.
5. Общая площадь четырех таких треугольников составляет \( 4 \times 1.125 = 4.5 \) квадратных единиц.
6. Площадь заштрихованной фигуры равна площади большого прямоугольника минус площадь четырех треугольников: \( 9 - 4.5 = 4.5 \) квадратных единиц.

Способ 2: Формула площади ромба

1. Диагонали ромба можно определить по рисунку.
2. Горизонтальная диагональ (d1) проходит через 3 квадрата, но вершины ромба находятся на пересечениях, поэтому ее длина равна 3 единицам.
3. Вертикальная диагональ (d2) также проходит через 3 квадрата. Ее длина равна 3 единицам.
4. Площадь ромба вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \]
5. Подставляем значения диагоналей: \[ S = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = \frac{9}{2} = 4.5 \] квадратных единиц.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 4.5