На рисунке приведена зависимость силы тока от времени в колебательном контуре при свободных электромагнитных колебаниях. Какой станет частота свободных колебаний в контуре, если катушку в этом контуре заменить на другую катушку, индуктивность которой в 4 раза меньше? Ответ дайте в кГц.

Решение:

На графике зависимость силы тока \( I \) от времени \( t \) имеет вид синусоиды. Период колебаний \( T \) — это время, за которое происходит один полный цикл колебаний. Из графика видно, что один полный цикл (от пика до пика или от нуля вверх до нуля вверх) занимает \( T = 4 \) мкс.

Период колебаний связан с частотой \( \nu \) соотношением: \( T = \frac{1}{\nu} \). Следовательно, начальная частота колебаний составляет: \( \nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{4 \text{ мкс}} = 0.25 \text{ МГц} = 250 \text{ кГц} \).

Формула периода электромагнитных колебаний в колебательном контуре:

\[ T = 2\pi \sqrt{LC} \]или частота:

\[ \nu = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} \]где \( L \) — индуктивность катушки, \( C \) — ёмкость конденсатора.

Из формулы видно, что частота обратно пропорциональна квадратному корню из индуктивности: \( \nu \propto \frac{1}{\sqrt{L}} \).

Если индуктивность новой катушки \( L' \) в 4 раза меньше начальной \( L \), то \( L' = \frac{L}{4} \).

Новая частота \( \nu' \) будет равна:

\[ \nu' = \frac{1}{2\pi \sqrt{L'C}} = \frac{1}{2\pi \sqrt{\frac{L}{4}C}} = \frac{1}{2\pi \frac{\sqrt{LC}}{2}} = \frac{2}{2\pi \sqrt{LC}} = 2 \cdot \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} = 2\nu \]Таким образом, новая частота колебаний будет в 2 раза больше начальной.

Начальная частота \( \nu = 250 \text{ кГц} \).

Новая частота \( \nu' = 2 \times 250 \text{ кГц} = 500 \text{ кГц} \).

Ответ: 500 кГц.