1.На рисунке прямые а и b параллельны, \(\angle 1 = 55^\circ\). Найдите \(\angle 2\). 2.Отрезки AC и BD пересекаются в их общей середине точке O. Докажите, что прямые AB и CD параллельны. 3.Отрезок DM- биссектриса треугольника CDE. Через точку M проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая сторону DE в точке N. Найдите углы треугольника DMN, если \(\angle CDE=68^\circ\). 4*. В треугольнике ABC \(\angle A=67^\circ\), \(\angle C=35^\circ\), BD – биссектриса угла ABC. Через вершину B проведена прямая MN II AC. Найдите угол MBD. (Указание., для каждого из возможных случаев сделайте чертеж.)

Задание 1

Давай решим эту задачу по геометрии. Если прямые a и b параллельны, а угол 1 равен 55°, то угол 2 будет смежным с углом 1. Смежные углы в сумме дают 180°.

Значит, чтобы найти угол 2, нужно вычесть угол 1 из 180°:

\[\angle 2 = 180^\circ - \angle 1 = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ\]

Ответ: \(\angle 2 = 125^\circ\)

---

Задание 2

Для доказательства параллельности прямых AB и CD, рассмотрим треугольники \(\triangle AOB\) и \(\triangle COD\). Дано, что отрезки AC и BD пересекаются в их общей середине O. Это означает, что AO = OC и BO = OD.

Также, \(\angle AOB = \angle COD\) как вертикальные углы.

Таким образом, треугольники \(\triangle AOB\) и \(\triangle COD\) равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов, то есть \(\angle OAB = \angle OCD\). Эти углы являются накрест лежащими углами при прямых AB и CD и секущей AC.

Если накрест лежащие углы равны, то прямые AB и CD параллельны. Что и требовалось доказать.

---

Задание 3

Дано: DM - биссектриса \(\triangle CDE\), MN || CD, \(\angle CDE = 68^\circ\).

Найти углы \(\triangle DMN\).

Так как DM - биссектриса \(\angle CDE\), то

\[\angle CDM = \angle MDE = \frac{1}{2} \angle CDE = \frac{1}{2} \cdot 68^\circ = 34^\circ\]

Так как MN || CD, то \(\angle DMN = \angle CDM = 34^\circ\) как накрест лежащие углы.

Угол \(\angle DNM\) является соответственным углом углу \(\angle EDC\) при параллельных прямых MN и CD и секущей DE, поэтому

\[\angle DNM = \angle EDC = 68^\circ\]

Теперь найдем угол \(\angle MDN\) в \(\triangle DMN\):

\[\angle MDN = 180^\circ - \angle DMN - \angle DNM = 180^\circ - 34^\circ - 68^\circ = 78^\circ\]

Ответ: углы \(\triangle DMN\) равны: \(\angle DMN = 34^\circ\), \(\angle DNM = 68^\circ\), \(\angle MDN = 78^\circ\).

---

Задание 4

В треугольнике ABC \(\angle A = 67^\circ\), \(\angle C = 35^\circ\), BD - биссектриса угла ABC, MN || AC. Нужно найти угол MBD.

Сначала найдем угол ABC в треугольнике ABC:

\[\angle ABC = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 67^\circ - 35^\circ = 78^\circ\]

Так как BD - биссектриса угла ABC, то угол ABD равен половине угла ABC:

\[\angle ABD = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 78^\circ = 39^\circ\]

Теперь рассмотрим случай, когда MN || AC и проходит через вершину B. Так как MN || AC, то угол MBC равен углу C как накрест лежащие углы при параллельных прямых MN и AC и секущей BC:

\[\angle MBC = \angle C = 35^\circ\]

Тогда угол MBD равен разности углов ABD и MBC:

\[\angle MBD = \angle ABD - \angle MBC = 39^\circ - 35^\circ = 4^\circ\]

Ответ: \(\angle MBD = 4^\circ\).

Молодец! Ты отлично справился с этими задачами! Если у тебя возникнут еще вопросы, не стесняйся спрашивать.