На рисунке с размером клетки 1x1 изображен параллелограмм ABCD. Используя рисунок, найдите sin ∠BDC.

Решение:

1. Определим координаты точек параллелограмма ABCD. Предположим, что точка D имеет координаты \( (0, 0) \). Тогда точка C имеет координаты \( (4, 0) \).

2. Точка B имеет координаты \( (2, 2) \).

3. Найдем векторы \( \vec{DB} \) и \( \vec{DC} \).

\( \vec{DB} = (2-0, 2-0) = (2, 2) \)

\( \vec{DC} = (4-0, 0-0) = (4, 0) \)

4. Используем формулу для нахождения синуса угла между двумя векторами: \( \sin \angle BDC = \frac{|\vec{DB} \times \vec{DC}|}{|\vec{DB}| |\vec{DC}|} \), где \( \vec{DB} \times \vec{DC} \) — это векторное произведение в двумерном случае, которое равно \( x_1 y_2 - x_2 y_1 \).

\( \vec{DB} \times \vec{DC} = 2 \cdot 0 - 4 \cdot 2 = -8 \). Абсолютное значение равно 8.

5. Найдем длины векторов:

\( |\vec{DB}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)

\( |\vec{DC}| = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4 \)

6. Подставим значения в формулу:

\( \sin \angle BDC = \frac{8}{(2\sqrt{2}) \cdot 4} = \frac{8}{8\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Ответ: \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)